Weighted Trudinger - Moser Inequalities and Applications

Неравенства Трудингера - Мозера обеспечивают непрерывные вложения в пограничных случаях стандартных вложенияй Соболева, в которых вложения в пространствах Лебега L^p отсутствуют. В этом случае приходится рассматривать их естественные обобщения, которые являются вложениями в пространства Орлича соответствующих функциям максимального роста, экспоненциального типа. При описании этих функций роста возникают некоторые параметры. Диапазоны параметров, для которых существуют вложения, можно увеличить с помощью введения весов в нормах Соболева, что и приводит к рассмотрению весовых неравенств TM. Представлены некоторые интересные случаи со специальными весами в двумерной области, с приложением к уравнениям среднего поля типа Лиувилля.

Ключевые слова

неравенства Трудингера - Мозера; пространства Орлича; максимальные функции роста; весовые неравенства TM.

Литература

1. Yudovich V.I. Some Estimates Connected with Integral Operators and with Solutions of Elliptic Equations. Dokl. Akad. Nauk SSSR, 1961, vol. 138, pp. 805-808.
2. Peetre J. Espaces d' interpolation et theoreme de Soboleff. Ann. Inst. Fourier, 1966, vol. 16, pp. 279-317. DOI: 10.5802/aif.232
3. Pohozaev S.I. The Sobolev Embedding in the Case $pl = n$. Proc. of the Technical Scientific Conference on Advances of Scientific Research, 1964 - 1965, Mathematics Section, (Moskov. Energet. Inst., Moscow), pp. 158-170.
4. Trudinger N.S. On Imbeddings into Orlicz Spaces and Some Applications. Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 1967, vol. 17, pp. 473-483. DOI: 10.1512/iumj.1968.17.17028
5. Moser J. Moser J. A Sharp Form of an Inequality by N. Trudinger. Indiana University Mathematics Journal, 1970/71, vol. 20, pp. 1077-1092. DOI: 10.1512/iumj.1971.20.20101
6. Liouville J., Sur l' equation aux derivees partielles. Journal de Mathematiques Pures et Appliquees, 1853, vol. 18, pp. 71-72.
7. Caglioti E., Lions P.L., Marchioro C., Pulvirenti M. A Special Class of Stationary Flows for Two-Dimensional Euler Equations: a Statistical Mechanics Description. Communications in Mathematical Physics, 1992, vol. 143, no. 3, pp. 501-525. DOI: 10.1007/BF02099262
8. Caglioti E., Lions P.L., Marchioro C., Pulvirenti M. A Special Class of Stationary Flows for Two-Dimensional Euler Equations: a Statistical Mechanics Description. II. Communications in Mathematical Physics, 1995, vol. 174, no. 2, pp. 229-260. DOI: 10.1007/BF02099602
9. Chanillo S., Kiessling M. Rotational Symmetry of Solutions of Some Nonlinear Problems in Statistical Mechanics and in Geometry. Communications in Mathematical Physics, 1994, vol. 160, no. 2, pp. 217-238. DOI: 10.1007/BF02103274
10. Kiessling M.K.-H. Statistical Mechanics of Classical Particles with Logarithmic Interactions. Communications on Pure and Applied Mathematics, 1993, vol. 46, pp. 27-56. DOI: 10.1002/cpa.3160460103
11. Tarantello G. Multiple Condensate Solutions for the Chern - Simons - Higgs Theory. Journal of Mathematical Physics, 1996, vol. 37, pp. 3769-3796. DOI: 10.1063/1.531601
12. Tarantello G. Analytical Aspects of Liouville-Type Equations with Singular Sources. Handbook of Differential Equations (M. Chipot and P. Quittner, eds.), Elsevier, North Holland, 2004, pp. 491-592.
13. Li Y.Y. Harnack Type Inequality: the Method of Moving Planes. Communications in Mathematical Physics, 1999, vol. 200, pp. 421-444. DOI: 10.1007/s002200050536
14. Chen C.C., Lin C.S. Mean Field Equations of Liouville Type with Singular Data: Sharper Estimates. Discrete and Continuous Dynamic Systems, 2010, vol. 28, no. 3, pp. 123-127.
15. Calanchi M., Terraneo E. Non-radial Maximizers for Functionals with Exponential Nonlinearity in R^2. Advanced Nonlinear Studies, 2005, vol. 5, pp. 337-350.
16. Adimurthi, Sandeep K. A Singular Moser - Trudinger Embedding and Its Applications. Nonlinear Differential Equations and Applications, 2007, vol. 13, issue 5-6, pp. 585-603. DOI: 10.1007/s00030-006-4025-9
17. Calanchi M., Ruf B. On a Trudinger - Moser Type Inequality with Logarithmic Weights. Journal of Differential Equations, 2015, no. 3, pp. 258-263. DOI: 10.1016/j.jde.2014.11.019
18. Calanchi M. Some Weighted Inequalitie of Trudinger - Moser Type in Progress. Nonlinear Differential Equations and Applications, Birkhauser, 2014, vol. 85, pp. 163-174.
19. Calanchi M., Ruf B. Trudinger - Moser Type Inequalities with Logarithmic Weights in Dimension N. Nonlinear Anal., 2015, vol. 121, pp. 403-411.
20. Kufner A. Weighted Sobolev Spaces. John Wiley & Sons Ltd, 1985.
21. Leckband M.A. An Integral Inequality with Applications. Transactions of the American Mathematical Society, 1984, vol. 283, no. 1, pp. 157-168. DOI: 10.1090/S0002-9947-1984-0735413-7
22. de Figueiredo G., Miyagaki O.H., Ruf B. Elliptic Equations in R^2 with Nonlinearities in the Critical Growth Range. Calc. Var. Partial Differential Equations, 1995, vol. 3, no. 2, pp. 139-153. DOI: 10.1007/BF01205003