Об управляемости линейных уравнений соболевского типа с относительно секториальным оператором

В работе исследуется вопрос $varepsilon$-управляемости линейных дифференциальных уравнений первого порядка, не разрешенных относительно производной по времени $Lstackrel{.}{x}(t)=Mx(t)+Bu(t), quad 0<t<T.$ Предполагается, что $ker L
e{0}$, а оператор $M$ сильно $(L,p)$-секториален. Данные условия гарантируют существование аналитической в секторе разрешающей полугруппы однородного уравнения $ Lstackrel{.}{x}(t)=Mx(t)$. С помощью теории вырожденных полугрупп операторов с ядрами исходное уравнение редуцировано к системе двух уравнений: регулярного, т.е. разрешенного относительно производной (на образе разрешающей полугруппы однородного уравнения) и сингулярного (на ядре полугруппы) с нильпотентным оператором при производной. Используя результаты об $varepsilon$-управляемости регулярного и сингулярного уравнений, получен критерий $varepsilon$-управляемости исходного уравнения соболевского типа с относительно $p$-секториальным оператором в терминах операторов, входящих в уравнение. Абстрактные результаты использованы при исследовании $varepsilon$-управляемости конкретной начально-краевой задачи, которая является линеаризацией в нуле системы уравнений фазового поля, описывающих в рамках мезоскопической теории фазовые переходы первого рода.

Ключевые слова

относительно $p$-секториальные операторы, управляемость.

Литература

1. Свиридюк, Г.А. К общей теории полугрупп операторов / Г.А. Свиридюк // Успехи мат. наук. - 1994. - Т. 49, № 4. - С. 47 - 74.
2. Sviridyuk, G.A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov. - Utrecht; Boston; K$ddot{o}$ln; Tokyo: VSP, 2003.
3. Demidenko, G.V. Partial Differential Equations and Systems not Solvable with Respect to the Highest - Order Deriative / G.V. Demidenko, S.V. Uspenskii. - N. Y.; Basel; Hong Kong: Marcel Dekker, Inc., 2003.
4. Шолохович, Ф.А. Об управляемости линейных динамических систем / Ф.А. Шолохович // Изв. УрГУ. - 1998. - № 10, вып. 1. - С. 103 - 126.
5. Федоров, В.Е. Одномерная управляемость в гильбертовых пространствах линейных уравнений соболевского типа / В.Е. Федоров, О.А. Рузакова // Дифференц. уравнения. - 2002. - Т. 38, № 8. - C. 1137 - 1139.
6. Федоров, В.Е. Одномерная и двумерная управляемость уравнений соболевского типа в банаховых пространствах / В.Е. Федоров, О.А. Рузакова // Мат. заметки. - 2003. - T. 74, № 4. - С. 618 - 628.
7. Федоров, В.Е. Управляемость линейных уравнений соболевского типа с относительно p-радиальными операторами / В.Е. Федоров, О.А. Рузакова // Изв. вузов. Математика. - 2002. - № 7. - C. 54 - 57.
8. Свиридюк, Г.А. Оптимальное управление линейными уравнениями типа Соболева с относительно p-секториальными операторами / Г.А. Свиридюк, А.А. Ефремов // Дифференц. уравнения. - 1995. - Т. 31, № 11. - С. 1912 - 1919.
9. Федоров, В.Е. Голоморфные разрешающие полугруппы уравнений соболевского типа в локально выпуклых пространствах / В.Е. Федоров // Мат. сб. - 2004. - Т. 195, № 8. - С. 131 - 160.
10. Плотников, П.И. Уравнения фазового поля и градиентные потоки маргинальных функций / П.И. Плотников, А.В. Клепачева // Сиб. мат. журн. - 2001. - Т. 42, № 3. - С. 651 - 669.
11. Плотников, П.И. Задача Стефана с поверхностным натяжением как предел модели фазового поля / П.И. Плотников, В.Н. Старовойтов // Дифференц. уравнения. - 1993. - Т. 29, № 3. - С. 461 - 471.
12. Федоров, В.Е. Ограниченные решения линеаризованной системы уравнений фазового поля / В.Е. Федоров, М.А. Сагадеева // Неклассические уравнения математической физики: тр. семинара, посвящ. 60-летию проф. В.Н.Врагова / отв. ред. А.И. Кожанов; Рос. Акад. наук, Сиб. отд-ние, ин-т математики им. С.Л. Соболева. - Новосибирск, 2005. - С. 275 - 284.