О семействах решений интегральных уравнений Вольтерры первого рода с разрывными ядрами

Предложен метод построения параметрических семейств непрерывных решений одного класса интегральных уравнений Вольтерры первого рода, возникающих в теории развивающихся систем. Ядра рассматриваемых уравнений допускают разрывы первого рода на монотонно возрастающих кривых. В явном виде построено характеристическое алгебраическое уравнение. Отдельно изучается регулярный случай, когда характеристическое уравнение не имеет натуральных корней и решение интегрального уравнения единственное. В нерегулярном случае характеристическое уравнение имеет натуральные корни, а решение рассматриваемого интегрального уравнения содержит произвольные постоянные. При этом решение может быть неограниченными, если характеристическое уравнение имеет нулевой корень. Показано, что число произвольных постоянных, входящих в решение, зависит от кратности натуральных корней характеристического уравнения. Доказаны теоремы существования параметрических семейств решений и строится их асимптотика с помощью логарифмо-степенных полиномов. Асимптотика может уточняться численно или последовательными приближениями.

Ключевые слова

интегральное уравнение Вольтерры первого рода, асимптотика, разрывное ядро, последовательные приближения, логарифмо-степенные полиномы.

Литература

1. Lyapunov-Schmidt methods in nonlinear analysis and applications / N.A. Sidorov, B.V. Loginov, A.V. Sinitsyn, M.V. Falaleev. - Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2002. - 548 p.
2. Sviridyuk, G.A. Linear Sobolev type equations and degenerate semigroups of operators / G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov. - Utrecht; Boston: VSP, 2003. - 216 p.
3. Апарцин, А.С. Неклассические уравнения Вольтерра I рода: теория и численные методы / А.С. Апарцин. - Новосибирск: Наука, 1999. - 193 с.
4. Маркова, Е.В. О моделях развивающихся систем типа Глушкова и их приложениях в электроэнергетике / Е.В. Маркова, И.В. Сидлер, В.В. Труфанов // Автоматика и телемеханика. - 2011. - № 7.- С. 20 - 28.
5. Denisov, A.M. On a special Volterra integral equation of the first kind / A.M. Denisov, A. Lorenzi // Boll. Un. Mat. Ital. B. - 1995.- V. 7, № 9. - P. 443 - 457.
6. Яценко, Ю.П. Интегральные модели систем с управляемой памятью / Ю.П. Яценко. - Киев: Наукова думка, 1991. - 218 с.
7. Evans, G.C. Volterra's Integral Equation of the Second Kind with Discontinuous Kernel / G.C. Evans // Transactions of the American Mathematical Society. - 1910. - V. 11, № 4. - P. 393 - 413.
8. Хромов, А.П. Интегральные операторы с ядрами, разрывными на ломаных линиях / А.П. Хромов // Математический сборник. - 2006. - T. 197, № 11. - C. 115 - 142.
9. Магницкий, Н.А. Асимптотика решений интегрального уравнения Вольтерры первого рода / Н.А. Магницкий // ДАН СССР. - 1983. - T. 269, № 1. - C. 29 - 32.
10. Сидоров, Н.А. Существование и построение обобщенных решений интегральных уравнений Вольтерры первого рода / Н.А. Сидоров, Д.Н. Сидоров // Дифференц. уравнения. - 2006. - T. 42, № 9. - C. 1243 - 1242.
11. Сидоров, Н.А. Нелинейные операторные уравнения с функционально возмущенным аргументом нейтрального типа / Н.А. Сидоров, А.В. Труфанов // Дифференц. уравнения. - 2009. - T. 45, № 12. - C. 1804 - 1808.
12. Сидоров, Н.А. Существование и структура решений интегро-функциональных уравнений Вольтерры первого рода / Н.А. Сидоров, А.В. Труфанов, Д.Н. Сидоров // Изв. ИГУ, сер. математика. - 2007. - T. 1. - C. 267 - 274.
13. Sidorov, N.A. Generalized solutions of Volterra integral equations of the first kind / N.A. Sidorov, M.V. Falaleev, D.N. Sidorov // Bull. Malays. Math. Soc. - 2006. - V. 29, № 2. - P. 1 - 5.
14. Сидоров, Н.А. О решении операторно-интегральных уравнений Вольтерры в нерегулярном случае методом последовательных приближений / Н.А. Сидоров, Д.Н. Сидоров, А.В. Красник // Дифференциальные уравнения. - 2010. - T. 40, № 6. - C. 874 - 882.
15. Сидоров, Н.А. О малых решениях нелинейных дифференциальных уравнений в окрестности точек ветвления / Н.А. Сидоров, Д.Н. Сидоров // Изв. вузов. Матем. - 2011. - № 5. - C. 53 - 61.
16. Треногин, В.A. Функциональный анализ / В.А. Треногин. - Изд. 4-е. - М.: Физматлит, 2007. - 488 с.
17. Гельфонд, А.О. Исчисление конечных разностей / А.О. Гельфонд. - М.: Физматлит, 1959. - 400 с.
18. Сидоров, Д.Н. Метод монотонных мажорант в теории нелинейных уравнений Вольтерры / Д.Н. Сидоров, Н.А. Сидоров // Изв. ИГУ, сер. математика. - 2011. - T. 4, № 1. - C. 97 - 108.