Уравнение Хоффа как модель упругой оболочки

Исследуется разрешимость задачи Коши для уравнения Хоффа, моделирующего процесс выпучивания двутавровой балки при постоянной нагрузке и при высоких температурах. Это уравнение относится к классу полулинейных (у оператора действующего на исходную функцию можно выделить линейную часть и нелинейную) уравнений соболевского типа. Разрешимость абстрактных уравнений соболевского типа в банаховых пространствах исследовалась в работах Г.А. Свиридюка и его учеников с помощью метода фазового пространства. Уравнение Хоффа задается на гладком компактном ориентированном римановом многообразии без края. Многобразие в данном случае понимается, как упругая двухсторонняя оболочка. Удается редуцировать исходную задачу к задаче Коши для абстрактного уравнения соболевского типа и применить общую теорию. Редукция основана на теории Свиридюка относительно p-ограниченных операторов и теории Ходжа - Кодаиры о расщеплении пространств дифференциальных форм в прямые суммы подпространств. В результате получена теорема о простоте фазового пространства уравнения Хоффа в случае попадания или нет параметра, характеризующего нагрузку, в спектр оператора Лапласа - Бельтрами.

Ключевые слова

уравнения соболевского типа, фазовое пространство, римановы многообразия, дифференциальные k-формы

Литература

1. Свиридюк, Г.А. Фазовое пространство начально-краевой задачи для уравнения Хоффа / Г.А. Свиридюк, В.О. Казак // Мат. Заметки. - 2002. - Т. 71, № 2. - С. 292 - 297.
2. Свиридюк, Г.А. Уравнения Хоффа на графах / Г.А. Свиридюк, В.В. Шеметова // Дифференц. уравнения. - 2006. - Т. 42, № 1. - С. 139 - 145.
3. Sviridyuk, G.A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G.A Sviridyu, V.E. Fedorov. - Utrecht; Boston; Koln; Tokyo: VSP, 2003. - 268 p.
4. Морен, К. Методы гильбертова пространства / К. Морен. - М.: Мир, 1965. - 570 с.