Изучение уравнений леонтьевского типа с белым шумом методами производных в среднем случайных процессов

Уравнение леонтьевского типа с белым шумом мы понимаем как выражение $Ldotxi(t)=Mxi(t)+dot w(t)$, где $L$ - вырожденная матрица $n imes n$, M - невырожденная матрица $n imes n$, xi(t) - искомый случайный процесс и $dot w(t)$ - белый шум. Поскольку производная $dotxi(t)$ и белый шум корректно определены только в терминах обобщенных функций, прямое исследование подобного уравнения весьма сложно. Мы привлекаем к исследованию два приема: сначала мы переходим к стохастическому дифференциальному уравнению $Lxi(t)=Mint_0^txi(s)ds+w(t)$, где w(t) - винеровский процесс, и затем используем для описания решений этого уравнения так называемые производные в среднем от случайных процессов по Нельсону, которые вводятся без привлечения обобщенных функций. Этим способом получены формулы для решений уравнений леонтьевского типа с белым шумом.

Ключевые слова

производная в среднем, текущая скорость, белый шум, винеровский процесс, уравнение леонтьевского типа.

Литература

1. Шестаков, А.Л. Новый подход к измерению динамически искаженных сигналов / А.Л. Шестаков, Г.А. Свиридюк // Вестн. Юж.-Урал. гос. ун-та. Серия "Математическое моделирование и программирование". - 2010. - № 16(192), вып. 5. - С. 116-120.
2. Шестаков, А.Л. Оптимальное измерение динамически искаженных сигналов / А.Л. Шестаков, Г.А. Свиридюк // Вестн. Юж.-Урал. гос. ун-та. Серия "Математическое моделирование и программирование". - 2011. - № 17(234), вып. 8. - С. 70-75.
3. Nelson, E. Derivation of the Schr'odinger equation from Newtonian mechanics / E. Nelson // Phys. Reviews. - 1966. - V. 150, № 4. - P. 1079-1085.
4. Nelson, E. Dynamical theory of Brownian motion / E. Nelson. - Princeton: Princeton University Press, 1967. - 142 p.
5. Nelson, E. Quantum fluctuations / E. Nelson. - Princeton: Princeton University Press, 1985. - 147 p.
6. Гликлих, Ю.Е. Глобальный и стохастический анализ в задачах математической физики / Ю.Е. Гликлих. - М.: КомКнига, 2005. - 416 с.
7. Gliklikh, Yu.E. Global and stochastic analysis with applications to mathematical physics / Yu.E. Gliklikh. - London: Springer-Verlag, 2011. - 460 p.
8. Партасарати, К. Введение в теорию вероятностей и теорию меры / К. Партасарати. - М.: Мир, 1988. - 343 с.
9. Гантмахер, Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер. - М.: Физматлит,1967. - 575 с.