Оптимизация полигармонического импульса

В теории и практике создания некоторых технических устройств имеется необходимость оптимизации тригонометрических полиномов. В статье изложено решение задачи оптимизации тригонометрического полинома (полигармонического импульса) $f(t):=sumlimits_{k=1}^n,f_kcos(kt)$ по коэффициенту несимметрии $ k := frac{f_{max}}{|f_{min}|}, f_{max} := maxlimits_t,f(t,lambda), f_{min} := minlimits_t,f(t,lambda)$. Вычислены оптимальные значения главных амплитуд. В основу представленного в статье анализа положено понятие "минимального страта Максвелла", под которым подразумевается модмножество многочленов фиксированной степени с максимально возможным количеством минимумов при условии, что все минимумы расположены на одном уровне (значения многочлена во всех точках минимума равны между собой). Многочлен $f(t)$ при выполнении данного условия называется максвелловским. Отправной точкой проведенного исследования послужил экспериментально найденный авторами оптимальный набор значений коэффициентов $f_k$ для произвольного $n$. Позже появилось доказательство единственности оптимального многочлена с максимальным количеством минимумов на отрезке $[0,pi]$ и найдена общая формула масквелловского многочлена степени $n$, связанная с ядром Фейера, для которого коэффициент несимметрии равен $n$. Возникла естественная гипотеза о том, что ядро Фейера задает оптимальный многочлен. В настоящей статье дано обоснование справедливости этой гипотезы.

Ключевые слова

полигармонический импульс, тригонометрический полином, коэффициент несимметрии, оптимизация, страт Максвелла, ортогональные многочлены.

Литература

1. Даринский, Б.М. Бифуркации экстремалей фредгольмовых функционалов / Б.М. Даринский, Ю.И. Сапронов, С.Л. Царев // Современная математика. Фундаментальные направления. - М.: МАИ. - 2004. - Т. 12. - С. 3-140.
2. Ермоленко, В.Н. Инновационные решения для свайного фундаментостроения / В.Н. Ермоленко // Стройпрофиль. - 2010. - № 6 (84). - С. 20-22.
3. Шестаков, А.Л. Оптимальное измерение динамически искаженных сигналов / А.Л. Шестаков, Г.А. Свиридюк // Вестн. Юж.-Урал. гос. ун-та. Серия "Математическое моделирование и программирование". - 2011. - № 17(234), вып. 8. - С. 70-75.
4. Маслов, В.П. Теория возмущений и асимптотические методы / В.П. Маслов. - М.: Изд-во МГУ, 1965. - 553 с.
5. Брекер, Т. Дифференцируемые ростки и катастрофы / Т. Брекер, Л. Ландер. - М.: Мир, 1977. - 208 с.
6. Гилмор, Р. Прикладная теория катастроф. Т.1 / Р. Гилмор. - М.: Мир, 1984. - 350 с.
7. Арнольд, В.И. Особенности дифференцируемых отображений / В.И. Арнольд, А.Н. Варченко, С.М. Гусейн-Заде. - М.: МЦНМО, 2004. - 672 с.
8. Постон, Т. Теория катастроф и ее приложения / Т. Постон, И. Стюарт. - М.: Мир, 1980. - 608 с.
9. Сегё, Г. Ортогональные многочлены / Г. Сегё. - М.: Физматлит, 1962. - 500 с.