Численные методы нахождения собственных чисел и собственных функций возмущенных самосопряженных операторов

В работе получены простые формулы вычисления собственных чисел и аналитические формулы нахождения 'взвешенных', поправок теории возмущений дискретных полуограниченных снизу операторов. Также получены оценки остатков сумм функциональных рядов Рэлея - Шредингера. На основе полученных формул создан неитерационный численный метод, позволяющий находить собственные числа и значения собственных функций возмущенной спектральной задачи. Был проведен численный эксперимент по нахождению собственных характеристик оператора Лапласа, возмущенного оператором умножения на дважды непрерывно дифференцируемую функцию. Из эксперимента видно, что результаты численных расчетов собственных чисел и значений собственных функций хорошо согласуются с результатами, полученными известными методами: найденные собственные числа сравнивались с методом Леверье, а значения собственных функций - с методами Данилевского А.М. и Крылова А.Н.

Ключевые слова

собственные числа, собственные функции, 'взвешенные', поправки теории возмущений, возмущенные операторы.

Литература

1. Садовничий, В.А. Следы операторов / В А. Садовничий, В Е. Подольский // Успехи математических наук. - Москва, 2006. - Т. 61, вып. 5 (371). - С. 89-156.
2. Гохберг, И.Ц. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве / И.Ц. Гохберг, М.Г. Крейн. - М.: Наука, 1965.
3. Лидский, В.Б. Несамосопряженные операторы, имеющие след / В.Б. Лидский // Докл. АН СССР. - 1959. - 125: 3. - С. 485-487.
4. Садовничий, В.А. О вычислении первых собственных значений оператора Штурма - Лиувилля / В.А. Садовничий, В.Е. Подольский // ДАН (Россия). - 1996. - Т. 346, № 2. - С. 162-164.
5. Шестаков, А.Л. Динамическая точность измерительного преобразователя с корректирующим устройством в виде модели датчика / А.Л. Шестаков // Метрология. - 1987. - № 2. - С. 26-34.
6. Шестаков, А.Л. Коррекция динамической погрешности измерительного преобразователя линейным фильтром на основе модели датчика / А.Л. Шестаков // Изв. Вузов. Приборостроение. - 1991. - Т. 34, № 4. - С. 8-13.
7. Шестаков, А.Л. Модальный синтез измерительного преобразователя / А.Л. Шестаков // Известия РАН. Теория и системы управления. - 1995. - № 4. - С. 67-75.
8. Шестаков, А.Л. Новый подход к измерению динамически искаженных сигналов / А.Л. Шестаков, Г.А. Свиридюк // Вестн. Юж.-Урал. гос. ун-та. Серия "Математическое моделирование и программирование". - 2010. - № 16 (192), вып. 5. - C. 116-120.
9. Шестаков, А.Л. Численное решение задачи оптимального измерения / А.Л. Шестаков, А.В. Келлер, Е.И. Назарова // Автоматика и телемеханика. - 2012. - № 1. - C. 107-115.
10. Свиридюк, Г.А. О прямой и обратной задачах для уравнений Хоффа на графе / Г.А. Свиридюк, А.А. Баязитова // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Серия "Физ.-мат. науки". - 2009. - № 1 (18). - С. 6-17.
11. Свиридюк, Г.А. Устойчивость уравнений Хоффа на графе / Г.А. Свиридюк, С.А. Загребина, П.О. Пивоварова // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Серия 'Физ.-мат. науки'. - 2010. - № 1 (15). - С. 6-15.
12. Вычисление первых собственных значений задачи гидродинамической устойчивости течения вязкой жидкости между двумя вращающимися цилиндрами / В.А. Садовничий, В.В. Дубровский, С.И. Кадченко, В.Ф. Кравченко // Дифференц. уравнения. - 2000. - Т. 36, № 6. - С. 742-746.
13. Кадченко, С.И. Вычисление сумм рядов Рэлея - Шредингера возмущенных самосопряженных операторов / С.И. Кадченко // Журн. вычисл. математики и мат. физики. - 2007. - Т. 47, № 9. - С. 1494-1505.
14. Кадченко, С.И. Вычисление собственных значений возмущенных дискретных полуограниченных операторов / С.И. Кадченко, И.И. Кинзина // Журн. вычисл. математики и мат. физики. - 2006. - Т. 46, № 7. - С. 1265-1272.
15. Вычисление первых собственных чисел краевой задачи гидродинамической устойчивости течения Пуазейля в круглой трубе / В.А. Садовничий, В.А. Дубровский, С.И. Кадченко, В.Ф. Кравченко // Дифференц. уравнения. - 1998. - Т. 34, № 1. - С. 50-53.
16. Садовничий, В.А. Теория операторов: учеб. для вузов с углубленным изучением математики / В.А. Садовничий. - 5-е изд. стереотип. - М.: Дрофа, 2004. - 384 с.
17. Садовничий, В.А. Замечание об одном новом методе вычисления собственных значений и собственных функций дискретных операторов / В.А. Садовничий, В.В. Дубровский // Тр. семинара И.Г. Петровского. - М.: МГУ, 1994. - Вып. 17. - С. 244-248.
18. Дубровский В.В. Оценка разности спектральных функций операторов типа Лежандра / В.В. Дубровский, А.И. Седов // Фундаментальная и прикладная математика. - 2000. - Т. 6, № 4, - С. 1075-1082.
19. Кадченко, С.И. Новый метод вычисления собственных чисел спектральной задачи Орра - Зоммерфельда / С.И. Кадченко // Электромагнитные волны и электронные системы. - 2000. - Т. 5, № 6. - С. 4-10.
20. Кадченко, С.И. Численный метод нахождения собственных значений дискретных полуограниченных снизу операторов / С.И. Кадченко, Л.С. Рязанова // Вестн. Юж.-Урал. гос. ун-та. Серия "Математическое моделирование и программирование". - 2011. - № 17 (234), вып. 8. - С. 46-51.
21. Наймарк, М.А. Линейные дифференциальные операторы. / М. А. Наймарк. - М.: Наука, 1969.