Разрешимость нестационарной задачи теории фильтрации

Рассмотрена одна задача для класса неклассических уравнений математической теории волн. Отличительной особенностью этой задачи является зависимость от времени функциональных коэффициентов эллиптического оператора в правой части уравнения. Методом ее исследования является редукция к задаче Коши для нестационарного уравнения соболевского типа. Уравнения соболевского типа с зависящим от времени оператором в данной постановке рассматриваются впервые. Введено в рассмотрение понятие относительно спектрально ограниченной оператор-функции. Условия, гарантирующие выполнение этого свойства задачи, позволяют также выделить подпространство начальных значений, для которых существует единственное решение задачи Коши. Это подпространство мы назвали обобщенным фазовым пространством решений для нестационарного уравнения соболевского типа. Решение такой задачи для уравнений соболевского типа, а также и в исходной постановке, получено с помощью рекурсивной формулы.

Ключевые слова

нестационарные уравнения, уравнения соболевского типа.

Литература

1. Свиридюк, Г.А. Об одной модели динамики несжимаемой вязко-упругой жидкости / Г.А. Свиридюк // Известия ВУЗ. Математика. - 1988. - № 1. - С. 74-79.
2. Баренблатт, Г.И. Об основных представлениях теории фильтрации в трещиноватых средах / Г.И. Баренблатт, Ю.П. Желтов, И.Н. Кочина // Прикл. математика и мех. - 1960. - Т. 24, № 5. - С. 58-73.
3. Демиденко, Г.В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной / Г.В. Демиденко, С.В. Успенский. - Новосибирск: Науч. кн., 1998. - 438 c.
4. Дзекцер, Е.С. Обобщение уравнения движения грунтовых вод со свободной поверхностью / Е.С. Дзекцер // ДАН СССР. - 1972. - Т. 202, № 5. - С. 1031-1033.
5. Свиридюк, Г.А. К общей теории полугрупп операторов / Г.А. Свиридюк // Успехи мат. наук. - 1994. - Т. 49, № 4. - С. 47-74.
6. Sviridyuk, G.A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov. - Utrech; Boston; K'oln; Tokyo: VSP, 2003. - 216 c.
7. Шестаков, А.Л. Динамические измерения как задача оптимального управления / А.Л. Шестаков, Г.А. Свиридюк, Е.В. Захарова // Обозр. прикл. и пром. математики. - 2009. -Т. 16, № 4. - С. 732-733.
8. Шестаков, А.Л. Новый подход к измерению динамически искаженных сигналов / А.Л. Шестаков, Г.А. Свиридюк // Вестн. Юж.-Урал. гос. ун-та, сер. "Мат. моделирование и программирование". - 2010. - № 16, вып. 5. - С. 88-92.
9. Далецкий, Ю.Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю.Л. Далецкий, М.Г. Крейн. - М.: Наука, 1970. - 536 c.
10. Kato, T. Integration of the Equation of Evolution in a Banach Space / T. Kato // J. Math. Soc. of Japan. - 1953. - V. 5. - P. 208-234.
11. Ладыженская, О.А. Краевые задачи для уравнений в частных производных и некоторых классов операторных уравнений / О.А. Ладыженская, М.И. Вишик / Успехи мат. наук. - 1956. - Т. 11, № 6. - С. 41-97.
12. Иосида, К. Функциональный анализ / К. Иосида. - М.: Мир, 1967. - 624 c.
13. Крейн, С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / С.Г. Крейн. - М.: Наука, 1967. - 464 c.
14. Хенри, Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений / Д. Хенри. - М.: Мир, 1985.- 376 c.
15. Favini, A. Degenerate Differential Equations in Banach Spaces / A. Favini, A. Yagi. - N.Y.; Basel; Hong Kong: Marcel Dekker, Inc, 1999. - 236 c.