Асимптотическая устойчивость решений одного класса нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка с параметрами

Рассматривается некоторый класс нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с параметрами. Дифференциальные уравнения такого типа возникают при изучении колебаний 'перевернутого маятника', точка подвеса которого совершает произвольные периодические колебания. Установлены условия, при которых нулевое решение асимптотически устойчиво. Указаны оценки области притяжения нулевого решения и получены оценки скорости убывания решений на бесконечности. При получении результатов используется критерий асимптотической устойчивости нулевого решения систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Критерий формулируется в терминах разрешимости специальной краевой задачи на отрезке для дифференциального уравнения Ляпунова. Оценки области притяжения нулевого решения и оценки скорости убывания решений на бесконечности указываются с использованием нормы решения этой краевой задачи.

Ключевые слова

дифференциальные уравнения второго порядка, периодические коэффициенты, асимптотическая устойчивость, дифференциальное уравнение Ляпунова.

Литература

1. Демиденко, Г.В. Об устойчивости решений линейных систем с периодическими коэффициентами / Г.В. Демиденко, И.И. Матвеева // Сиб. мат. журн. - 2001. - Т. 42, № 2. - С. 332-348.
2. Demidenko, G.V. On asymptotic stability of solutions to nonlinear systems of differential equations with periodic coefficients / G.V. Demidenko, I.I. Matveeva // Selcuk J. Appl. Math. - 2002. - V. 3, № 2. - P. 37-48.
3. Демиденко, Г.В. Об устойчивости решений квазилинейных периодических систем дифференциальных уравнений / Г.В. Демиденко, И.И. Матвеева // Сиб. мат. журн. - 2004. - Т. 45, № 6. - С. 1271-1284.
4. Demidenko, G.V. On numerical study of asymptotic stability of solutions to linear periodic differential equations with a parameter / G.V. Demidenko, I.I. Matveeva // J. Comput. Math. Optim. - 2009. - V. 5, № 3. - P. 163-173.
5. Малкин, И.Г. Теория устойчивости движения / И.Г. Малкин. - М.: Наука, 1966.
6. Далецкий, Ю.Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю.Л. Далецкий, М.Г. Крейн. - М.: Наука, 1970.
7. Якубович, В.А. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения / В.А. Якубович, В.М. Старжинский. - М.: Наука, 1972.
8. Андреев, Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами / Ю.Н. Андреев. - М.: Наука, 1976.
9. Розенвассер, Е.Н. Показатели Ляпунова в теории линейных систем управления / Е.Н. Розенвассер. - М.: Наука, 1977.
10. Бодунов, Н.А. О зависимости устойчивости линейных периодических систем от периода / Н.А. Бодунов, Ф.Ф. Котченко // Дифференц. уравнения. - 1988. - Т. 24, № 2.- С. 338-341.
11. Боголюбов, Н.Н. Теория возмущений в нелинейной механике / Н.Н. Боголюбов // Сб. тр. Ин-та строит. механики АН УССР. - Киев, 1950. - № 14. - С. 9-34.
12. Капица, П.Л. Динамическая устойчивость маятника при колеблющейся точке подвеса / П.Л. Капица // ЖЭТФ. - 1951. - Т. 21, вып. 5. - С. 588-597.
13. Боголюбов, Н.Н. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний / Н.Н. Боголюбов, Ю.А. Митропольский. - М.: Физматгиз, 1963.
14. Митропольский, Ю.А. Метод усреднения в нелинейной механике / Ю.А. Митропольский. - Киев: Наукова думка, 1971.