О дискретизации линейных дифференциальных уравнений

Рассмотрены некоторые вопросы получения дискретного описания дифференциальной системы (ДС) на равномерной сетке. Рассматриваются ДС в виде системы n линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами или одно уравнение n-го порядка для наблюдаемого функционала состояния ДС. Изучаемые вопросы дискретизации важны для задач вариационной идентификации и аппроксимации динамических процессов моделями этого типа в конечном интервале. Дано сравнение аналитического равномерного (на основе теоремы Гамильтона-Кэли) и локальных методов дискретизации: на основе разделенных разностей и с помощью интерполяции выборок из n+1 отсчетов многочленами Тейлора степени n. Получена общая формула локальной дискретизации, прозволяющая сравнивать ее разностный и интерполяционные методы. Показано с использованием свойств обратных матриц Вандермонда, что в полученной общей формуле локальной дискретизации ее интерполяционному методу соответствуют (n+1)-матрицы Тейлора (из коэффициентов многочленов Тейлора), а разностному - (n+1)-матрицы Паскаля (из чисел треугольников Паскаля).
Показано, что невырожденность матрицы наблюдаемости ДС на сетке есть необходимое и достаточное условие как для аналитической дискретизируемости, так и для приведения дискретной системы (описания ДС сетке) к каноническому фробениусовскому виду. Он эквивалентен одному обыкновенному разностному уравнению для наблюдаемой переменной с постоянными коэффициентами. Это уравнение есть основа известного вариационного метода идентификации. Показано, что интерполяционный метод локальной дискретизации есть первое (линейное) приближение формулы равномерной аналитической дискретизации. Показано, что нулевое приближение ее не зависит от коэфффициентов ДС и есть вектор коэффициентов n-й разности. Показано также, что нулевое приближение матрицы наблюдаемости ДС н и матрицы наблюдаемости полиномиальной системы $y^{(n)=0$ на сетке есть n-матрица.

Ключевые слова

вариационная аппроксимация и идентификация, дискретизация дифференциальных уравнений, аналитическая дискретизация, линейное приближение, Теорема Гамильтона-Кэли, локальная дискретизация, многочлены Тейлора, матрица Вандермонда, треугольник Паскаля.

Литература

1. Егоршин, А.О. Идентификация стационарных моделей в унитарном пространстве / А.О. Егоршин // Автоматика и телемеханика. - 2004. - Т. 65(12). - С. 29-48.
2. Гантмахер, Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер. - М.: Наука, 1966.
3. Егоршин, А.О. Об отслеживании параметров экстремума в вариационной задаче идентификации / А.О. Егоршин // Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. - 2011. - Т. 11, вып. 3. - С. 95-114.
4. Егоршин, А.О. Об одном способе оценки коэффициентов моделирующих уравнений для последовательностей / А.О. Егоршин // Сиб. журн. индустр. матем. - 2000. - Т. 3, № 2. - С. 78-96.
5. Эльясберг, П.Е. Определение движения по результатам измерений / П.Е. Эльясберг. - М.: Либроком, 2011.