Стохастические неполные линейные уравнения соболевского типа высокого порядка с аддитивным белым шумом

Теория уравнений соболевского типа переживает эпоху своего расцвета. Большое число исследований посвящено детерминированным уравнениям и системам. Однако в натурных экспериментах возникают математические модели, содержащие случайные возмущения, например, в виде белого шума. Поэтому в последнее время все чаще появляются исследования, посвященные стохастическим дифференциальным уравнениям. В данной работе в рамках теории уравнений соболевского типа рассмотрена математическая модель Буссинеска - Лява с аддитивным белым шумом. При изучении модели полезными оказались методы и результаты теории уравнений соболевского типа с относительно p-ограниченными операторами. Поскольку модель представлена вырожденным уравнением математической физики, то к ней трудно применимы существующие ныне подходы Ито - Стратоновича - Скорохода. Мы используем уже хорошо зарекомендовавший себя при решении уравнений соболевского типа метод фазового пространства, заключающийся в редукции сингулярного уравнения к регулярному, определенному на некотором подпространстве исходного пространства. В первой части статьи собраны основные факты теории (L,p)-ограниченных операторов. Во второй - рассмотрена задача Коши для стохастического линейного уравнения соболевского типа высокого порядка. В качестве примера приведена математическая модель Буссинеска - Лява.

Ключевые слова

уравнение соболевского типа, пропагаторы, белый шум, винеровский процесс.

Литература

1. Demidenko, G.V. Partial differential equations and systems not solvable with respect to the highest order derivative / G.V. Demidenko, S.V. Uspenskii. - N.Y.; Basel; Hong Kong: Marcel Dekker, Inc., 2003.
2. Showalter, R.E. Hilbert space methods for partial differential equations / R.E. Showalter. - Pitman; London; San Francisco; Melbourne, 1977.
3. Favini A. Degenerate differential equations in Banach spaces / A. Favini, A. Yagi. - N.Y.; Basel; Hong Kong: Marcel Dekker, Inc., 1999.
4. Lyapunov-Shmidt methods in nonlinear analysis and applications / N. Sidorov, B. Loginov, A. Sinithyn, M. Falaleev. - Dordrecht; Boston; London: Kluwer Academic Publishers, 2002.
5. Sviridyuk, G.A. Linear Sobolev type equations and degenerate semigroups of operators / G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov. - Utrecht; Boston; Koln; Tokyo: VSP, 2003.
6. Al'shin, A.B. Blow-up in nonlinear Sobolev type equations /A.B. Al'shin, M.O. Korpusov, A.G. Sveshnikov. - Series in nonlinear analisys and applications, 15, De Gruyter, 2011.
7. Кожанов, А.И. Краевые задачи для уравнений математической физики нечетного порядка / А.И. Кожанов.- Новосибирск: НГУ, 1990.
8. Свиридюк, Г.А. Фазовые пространства линейных динамических уравнений типа Соболева / Г.А. Свиридюк, Т.В. Апетова // ДАН. - 1993. - Т. 330, № 6. - C. 696-699.
9. Свиридюк, Г.А. Линейные уравнения типа Соболева высокого порядка / Г.А. Свиридюк, О.В. Вакарина // ДАН. - 1998. - Т. 393, № 3. - С. 308-310.
10. Свиридюк, Г.А. Фазовые пространства одного класса линейных уравнений соболевского типа высокого порядка / Г.А. Свиридюк, А.А. Замышляева // Дифференц. уравнения. - 2006. - Т. 42, № 2. - С. 252-260.
11. Wang, S. Small amplitude solutions of the generalized IMBq equation / S. Wang, G. Chen. - Mathematical Analysis and Application. - 2002. - V. 274. - P. 846-866.
12. Уизем, Дж. Линейные и нелинейные волны / Дж. Уизем. - М.: Мир, 1977.
13. Ландау, Л.Д. Теоретическая физика. Т. VII. Теория упругости / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. - М.: Наука, 1987.
14. Gliklikh, Yu.E. Global and Stochastic Analysis with Applications to Mathematical Physics / Yu.E. Gliklikh. - London; Dordrecht; Heidelberg; N.-Y.: Springer, 2011.
15. Melnikova, I.V. Abstract Stochastic Equations II. Solutions In Spaces Of Abstract Stochastic Distributions / I.V. Melnikova, A.I. Filinkov, M.A. Alshansky // J. of Mathematical Sciences. - 2003. - V. 116, № 5. - P. 3620-3656.
16. Шестаков, А.Л. О новой концепции белого шума / А.Л. Шестаков, Г.А. Свиридюк // Обозрение приклад. и пром. математики. - М., 2012. - Т. 19, вып. 2. - С. 287-288.
17. Загребина, С.А. Уравнение Баренблатта - Желтова - Кочиной с белым шумом / С.А. Загребина, Е.А. Солдатова // Обозрение приклад. и пром. математики. - М., 2012. - Т. 19, вып. 2. - С. 252-254.
18. Kovacs, M. Introduction to stochastic partial differential equations / M. Kov$acute{a}$cs, S. Larsson // Proceedings of 'New Directions in the Mathematical and Computer Sciences', National Universities Commission, Abuja, Nigeria, October 8-12, 2007. Publications of the ICMCS. - 2008. - V. 4. - P. 159-232
19. Свиридюк, Г.А. Задача Шоуолтера - Сидорова как феномен уравнений соболевского типа / Г.А. Свиридюк, С.А. Загребина // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. - Иркутск, 2010. - Т. 3, № 1. - С. 51-72.