Обратная задача теории совместимости и функционально-инвариантные решения волнового уравнения в двумерном пространстве

Исследуется система уравнений с, вообще говоря, переменными коэффициентами, описывающая функционально-инвариантные решения волнового уравнения в пространстве $mathbb{R}^3(t,x,y)$. Хорошо известно, что для единичной матрицы коэффициентов все функционально-инвариантные решения описываются формулой Соболева. В работе доказано, что если решение рассматриваемой системы имеет максимальный произвол (который понимается в смысле теории совместности переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных), то коэффициенты волнового уравнения связаны алгебраическим соотношением второго порядка (гиперболическим или эллиптическим) и, кроме того, дифференциальным соотношением второго порядка. На множестве дифференциальных уравнений естественно действует группа преобразований, индуцированных заменами пространственных переменных. Получена полная классификация рассматриваемых систем относительно этой группы. Доказано, что есть ровно три класса эквивалентности. В работе используются классические методы теории Рикье исследования переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных.

Ключевые слова

волновое уравнение, теория совместности, функционально-инвариантные решения.

Литература

1. Соболев, С.Л. Функционально-инварианатные решения волнового уравнения / С.Л. Соболев // Труды физ.-мат. ин-та им. Стеклова В.А. - 1934. - Т. 5. - С. 259-264.
2. Поммаре, Ж. Системы уравнений с частными производными и псевдогруппы Ли / Ж. Поммаре. - М.: Мир, 1983.
3. Фиников, С.П. Метод внешних форм Картана / С.П. Фиников. - М.; Л.: ГИИТЛ, 1948.
4. Сидоров, А.Ф. Метод дифференциальных связей и его приложение в газовой динамике / А.Ф. Сидоров, В.П. Шапеев, Н.Н. Яненко. - Новосибирск: Наука, 1984.