Разрешимость краевой задачи для вырождающихся уравнений соболевского типа

Целью работы является доказательство существования и единственности регулярных решений первой краевой задачи для систем уравнений соболевского типа с эллиптико-параболическими операторами с пространственным вырождением. А.И. Кожановым были рассмотрены начально-краевые задачи для уравнений соболевского типа с эллиптико-параболическими операторами второго порядка, действующими по пространственным переменным. В его работах были доказаны существование решения при выполнении условий "характеристической выпуклости", границы области относительно пространственных операторов. Техника, используемая в настоящей работе, будет близка к технике работ вышеуказанного автора. Для исследования вырождающихся систем уравнений соболевского типа используется также сочетание метода регуляризации и метода априорных оценок. С помощью метода регуляризации строится семейство приближенных решений вырождающихся уравнений. Анализ интегральных неравенств, при получении априорных оценок, основан на интегрировании по частям, применении неравенств Коши - Буняковского и Гельдера и неравенства Юнга. Также применяются свойства весовых соболевских пространств.

Ключевые слова

краевая задача, уравнение соболевского типа, регулярные решения, априорные оценки.

Литература

1. Кожанов, А.И. О свойствах решений для одного класса псевдопараболических уравнений / А.И. Кожанов // Докл.РАН. - 1992. - Т. 236, № 5. - С. 781-786.
2. Kozhanov, A.I. Certain classes of degenerate Sobolev-Galpern equation / A.I. Kozhanov // Siberian Adv. Math. - 1994. - Vol. 4, № 1. - P. 65-94.
3. Кожанов, А.И. О краевых задачах для некоторых классов уравнений высокого порядка, неразрешенных относительно старшей производной / А.И. Кожанов // Сиб. мат. журн. - 1994. - Т. 35, № 2. - С. 359-376.
4. Kozhanov, A.I. Composite Type Equation and Inverse Problem / A.I. Kozhanov. - Utrecht, the Netherlands: VSP, 1999.
5. Кожанов, А.И. Существование "почти регулярных", решений граничной задачи для одного класса линейных соболевских уравнений нечетного порядка / А.И. Кожанов // Мат. заметки ЯГУ. - 1997. - Т. 4, № 1. - С. 29-37.
6. Якубов, С.Я. Линейные дифференциально-операторные уравнения и их приложения / С.Я. Якубов. - Баку: Элм, 1985. - 220 с.
7. Ладыженская, О.А. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа / О.А. Ладыженская, Н.Н. Уральцева. - М.: Наука, 1973.