О моделировании с использованием дифференциально-алгебраических уравнений в частных производных

Рассматриваются эволюционные системы дифференциальных уравнений в частных производных, зависящие от одной пространственной переменной. Предполагается, что матрицы перед производными искомой вектор-функции вырожденные во всей области определения. Такие системы принято называть дифференциально-алгебраическими уравнениями (ДАУ) в частных производных. Свойства ДАУ существенно отличаются от свойств невырожденных систем. В частности, невозможно судить о типе систем по виду корней характеристических уравнений. В работе вводится понятие расщепляемых систем. Под такими уравнениями понимаются системы, допускающие существование невырожденных преобразований, расщепляющих исходный объект на подсистемы с единственным решением, функциональным произволом от одной из переменных и собственно невырожденную подсистему уравнений в частных производных. Этот прием позволяет исследовать структуру общих решений ДАУ и в ряде случаев установить разрешимость начально краевых задач.

Ключевые слова

частные производные, дифференциально-алгебраические уравнения, гиперболические, вырожденные системы, индекс, каноническая форма, моделирование.

Литература

1. Wade, S.M. A differentiation index for partial differential-algebraic equations / S.M. Wade, I.B. Paul // SIAM J. Sci. Comp. - 2000. - V. 21, № 6. - P. 2295-2316.
2. Соболев, C.Л. Об одной новой задаче математической физики / C.Л. Соболев // Изв. АН СССР. Сер. мат. - 1954. - Т. 18. - С. 3-50.
3. Sviridyuk, G.A. Linear Sobolev type equations and degenerate semigroups of operators / G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov. - Utrecht; Boston; Koln: VSP, 2003.
4. Демиденко, Г.В. Уравнения и системы не разрешенные относительно старшей производной / Г.В. Демиденко, С.В. Успенский. - Новосибирск: Науч. кн., 1998.
5. Таиров, Э.А. Интегральная модель нелинейной динамики парогенерирующего канала на основе аналитических решений / Э.А. Таиров, В.В. Запов // ВАНТ. Сер. Физика ядерных реакторов. - 1991. - Вып. 3. - С. 14-20.
6. Gunther, M. PDAE-Netzwerkmodelle in der elektrischen schaltungssimulation / M. Gunther, P. Rentrop. - Preprint 99/3. - Karlsruhe: IWRMMM, 1999.
7. Свиридюк Г.А. К общей теории полугрупп операторов / Г.А. Свиридюк // Успехи мат. наук. - 1994. - Т. 49, № 4. - C.47-74.
8. Сидоров, Н.А. Обобщенные решения дифференциальных уравнений с фредгольмовым оператором при производной / Н.А. Сидоров , М.В. Фалалеев // Дифференц. уравнения. - 1987. - Т. 23, № 4. - C. 726-728.
9. Паламодов, В.П. Линейные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами / В.П. Паламодов. - М.: Наука, 1967.
10. Campbell, S.L. The Index of Infinite Dimensional Implicit System / S.L. Campbell , W. Marzalek // Mathematical and Computer Modelling of System. - 1999. - V. 5, № 1. - P. 18-42.
11. Бояринцев, Ю.Е. Применение обобщенных обратных матриц к решению и исследованию систем дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка / Ю.Е. Бояринцев // Методы оптимизации и исследование операций. - Иркутск: СЭИ СО АН СССР, 1984. - С. 123-141.
12. Бормотова, О.В. О методах численного решения и исследования систем не типа Коши-Ковалевской / О.В. Бормотова, В.Ф. Чистяков // Журн. вычислит. математики и мат. физики. - 2004. - Т. 44, № 8. - С. 1380-1387.
13. Гайдомак, С.В. О системах не типа Коши-Ковалевской индекса (1,k) / С.В. Гайдомак, В.Ф. Чистяков // Вычисл. технологии. - 2005. - Т. 10, № 2. - С. 45-59.
14. Бояринцев, Ю.Е. Алгебро-дифференциальные системы. Методы численного решения и исследования / Ю.Е. Бояринцев, В.Ф. Чистяков. - Новосибирск: Наука. Сиб. предприятие РАН, 1998.
15. Петровский, И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными / И.Г. Петровский. - М.; Л.: Гос. изд-во техн.-теор. лит., 1950.
16. Чистяков, В.Ф. О непрерывной зависимости решений линейных систем дифференциально-алгебраических уравнений от параметра / В.Ф. Чистяков, М. Пешич // Дифференц. уравнения. - 2009. - Т. 45, № 3. - С. 363-372.
17. Годунов, С.К. Уравнения математической физики / С.К. Годунов. - М.: Наука, 1971.
18. Петровский, И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений / И.Г. Петровский. - М.: Наука, 1964.
19. Логинов, А.А. Алгебро-дифференциальная система математической модели энергоблока ТЭС / А.А. Логинов, Э.А. Таиров, В.Ф.Чистяков // Труды XI междунар. Байкал. шк.-семинара "Методы оптимизации и их приложения", (Иркутск, Байкал, 5-12 июля 1998 г.). T. 4. Численный анализ, обратные и некорректные задачи. - Иркутск, 1998. - C. 119-122.