Начально-конечные задачи для неклассических моделей математической физики

Неклассическими называют те модели математической физики, чьи представления в виде уравнений или систем уравнений в частных производных не укладываются в рамках одного из классических типов - эллиптического, параболического или гиперболического. Статья содержит обзор результатов автора в области неклассических моделей математической физики, для которых рассмотрены начально-конечные задачи, обобщающие условия Коши и Шоуолтера - Сидорова. Абстрактные результаты проиллюстрированы конкретными начально-конечными задачами для уравнений и систем уравнений в частных производных, возникающих в последнее время в приложениях, а именно, в теории фильтрации, гидродинамике и мезоскопической теории, и рассмотренных на множествах различной геометрической структуры.

Ключевые слова

модель Плотникова, неклассические модели математической физики, система Навье - Стокса, уравнение Баренблатта - Желтова - Кочиной, (многоточечные) начально-конечные задачи, относительный спектр.

Литература

1. Плотников, П.И. Задача Стефана с поверхностным натяжением как предел модели фазового поля / П.И. Плотников, В.Н. Старовойтов // Дифференц. уравнения. - 1993. - Т. 29, № 3. - С. 395-405.
2. Плотников, П.И. Уравнения фазового поля и градиентные потоки маргинальных функций / П.И. Плотников, А.В. Клепачева // Сиб. мат. журн. - 2001. - Т. 42, № 3. - С. 651-669.
3. Ладыженская, О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости / О.А. Ладыженская. - М.: Физматгиз, 1961.
4. Темам, Р. Уравнения Навье - Стокса. Теория и численный анализ / Р. Темам. - М.: Мир, 1981.
5. Баренблатт, Г.И. Об основных представлениях теории фильтрации в трещиноватых средах / Г.И. Баренблатт, Ю.П. Желтов, И.Н. Кочина // Прикл. математика и механика. - 1960. - Т. 24, № 5. - С. 58-73.
6. Руткас, А.Г. Задача Коши для уравнения A(x)+Bx(t)=f(t) / А.Г. Руткас // Дифференц. уравнения. - 1975. - Т. 11, № 11. - С. 1996-2010.
7. Ting, T.W. Certain Non-Steady Flows of Second-Order Fluids / T.W. Ting // Arch. Rat. Mech. Anal. - 1963. - V. 14, № 1. - P. 28-57.
8. Chen, P.J. On a Theory of Heat Conduction Involving Two Temperatures / P.J. Chen, M.E. Gurtin // Z. Angew. Math. Phys. - 1968. - V. 19. - P. 614-627.
9. Hallaire, M. On a Theory of Moisture-Transfer / M. Hallaire // Inst. Rech. Agronom. - 1964. - No. 3. - P. 60-72.
10. Осколков, А.П. Нелокальные проблемы для одного класса нелинейных операторных уравнений, возникающих в теории уравнений типа С.Л. Соболева / Осколков А.П. // Зап. науч. сем. ЛОМИ. - 1991. - Т. 198. - С. 31-48.
11. Свиридюк, Г. А. Фазовое пространство задачи Коши - Дирихле для одного неклассического уравнения / Г.А. Свиридюк, А.В. Анкудинов // Дифференц. уравнения. - 2003. - Т. 39, № 11. - С. 1556-1561.
12. Poincare, H. Sur l'equilibre d'une mass fluide animee d'un mouvement de rotation / H. Poincare // Acta Math. - 1885. - V. 7. - P. 259-380.
13. Соболев, С.Л. Об одной новой задаче математической физики / С.Л. Соболев // Изв. АН СССР, серия "Математика". - 1954. - Т. 18, вып. 1. - С. 3-50.
14. Demidenko, G.V. Partial Differential Equations and Systems not Solvable with Respect to the Highest - Order Deriative / G.V. Demidenko, S.V. Uspenskii. - N.-Y.; Basel; Hong Kong: Marcel Dekker, Inc., 2003.
15. Панков, А.А. Нелинейные эволюционные уравнения с необратимым операторным коэффициентом при производной / А.А. Панков, Т.Е. Панкова // Докл. Акад. наук Украины. - 1993. - № 9. - С. 18-20.
16. Pyatkov, S.G. Operator Theory. Nonclassical Problems / S.G. Pyatkov. - Utrecht; Boston; Koln; Tokyo: VSP, 2002.
17. Sviridyuk G.A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov. - Utrecht; Boston; Koln; Tokyo: VSP, 2003.
18. Замышляева, А.А. Линейные уравнения соболевского типа высокого порядка: моногр. / А.А. Замышляева. - Челябинск: Изд. центр ЮУрГУ, 2012.
19. Манакова, Н.А. Задачи оптимального управления для уравнений соболевского типа: моногр. / Н.А. Манакова. - Челябинск: Изд. центр ЮУрГУ, 2012.
20. Сагадеева, М.А. Дихотомии решений линейных уравнений соболевского типа: моногр. / М.А. Сагадеева. - Челябинск: Изд. центр ЮУрГУ, 2012.
21. Келлер, А.В. Алгоритм решения задачи Шоуолтера - Сидорова для моделей леонтьевского типа / А.В. Келлер // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - Челябинск, 2011. - № 4 (241), вып. 7. - С. 40-46.
22. Свиридюк, Г.А. Численное решение систем уравнений леонтьевского типа / Г.А. Свиридюк, С.В. Брычев // Изв. вузов. Математика. - 2003. - № 8. - С. 46-52.
23. Свиридюк, Г.А. Алгоритм решения задачи Коши для вырожденных линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами / Г.А. Свиридюк, И.В. Бурлачко // Журн. вычисл. математики и мат. физики. - 2003. - Т. 43, № 11. - С. 1677-1683.
24. Shestakov, A.L. Optimal Measurement of Dynamically Distorted Signals / A.L. Shestakov, G.A. Sviridyuk // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2011. - No. 17 (234), issue. 8. - P. 70-75.
25. Шестаков, А.Л. Численное решение задачи оптимального измерения / А.Л. Шестаков, А.В. Келлер, Е.И. Назарова // Автоматика и телемеханика. - 2012. - № 1. - C. 107-115.
26. Свиридюк, Г.А. Задача Веригина для линейных уравнений соболевского типа с относительно p-секториальными операторами / Г.А. Свиридюк, С.А. Загребина // Дифференц. уравнения. - 2002. - Т. 38, № 12. - С. 1646-1652.
27. Загребина, С.А. О задаче Шоуолтера - Сидорова / С.А. Загребина // Изв. вузов. Математика. - 2007. - № 3. - С. 22-28.
28. Загребина, С.А. Начально-конечная задача для эволюционных уравнений соболевского типа на графе / С.А. Загребина, Н.П. Соловьева // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - Челябинск, 2008. - № 15 (115), вып. 1. - С. 23-26.
29. Манакова, Н.А. Об одной задаче оптимального управления с функционалом качества общего вида / Н.А. Манакова, А.Г. Дыльков // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. - Самара, 2011. - № 4 (25). - С. 18-24.
30. Замышляева, А.А. Начально-конечная задача для неоднородного уравнения Буссинеска - Лява / А.А. Замышляева // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - Челябинск, 2011. - № 37 (254), вып. 10. - С. 22-29.
31. Сидоров, Н.А. Об одном классе вырожденных дифференциальных уравнений с конвергенцией / Н.А. Сидоров // Мат. заметки. - 1984. - Т. 35, № 4. - C. 569-578.
32. Свиридюк, Г.А. Задача Шоуолтера - Сидорова как феномен уравнений соболевского типа / Г.А. Свиридюк, С.А. Загребина // Изв. Иркут. гос. ун-та. Серия "Математика". - 2010. - Т. 3, № 1. - С. 104-125.
33. Загребина, С.А. Начально-конечная задача для уравнений соболевского типа с сильно (L,p)-радиальным оператором / С.А. Загребина // Мат. заметки ЯГУ. - Якутск, 2012. - Т. 19, вып. 2. - С. 39-48.
34. Загребина, С.А. Обобщенная задача Шоуолтера - Сидорова для уравнений соболевского типа с сильно (L,p)-радиальным оператором / С.А. Загребина, М.А. Сагадеева // Вестн. МаГУ. Серия "Математика". - Магнитогорск, 2006. - Вып. 9. - С. 17-27.
35. Загребина, С.А. Задача Шоуолтера - Сидорова - Веригина для линейных уравнений соболевского типа / С.А. Загребина // Неклассические уравнения математической физики: тр. междунар. конф. "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения", посвящ. 100-летию со дня рождения акад. И. Н. Векуа / отв. ред. А. И. Кожанов; Рос. Акад. наук, Сиб. отд., ин-т математики им. С. Л. Соболева. - Новосибирск, 2007. - С. 150-157.
36. Загребина, С.А. Начально-конечная задача для линейной системы Навье - Стокса / С.А. Загребина // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - Челябинск, 2011. - № 4 (221), вып. 7. - С. 35-39.
37. Загребина, С.А. Многоточечная начально-конечная задача для линейной модели Хоффа / С.А. Загребина // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - Челябинск, 2012. - № 5 (264), вып. 11. - С. 4-12.
38. Загребина, С.А. Об одной новой задаче для уравнений Баренблатта - Желтова - Кочиной / С.А. Загребина, А.C. Конкина // Вестн. МаГУ. Серия 'Математика'. - Магнитогорск, 2012. - Вып. 14. - С. 67-77.
39. Федоров, В.Е. Вырожденные сильно непрерывные полугруппы операторов / В.Е. Федоров // Алгебра и анализ. - 2000. - Т. 12, вып. 3. - С. 173-200.
40. Федоров, В.Е. О некоторых соотношениях в теории вырожденных полугрупп операторов / В.Е. Федоров // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - Челябинск, 2008. - № 15 (115), вып. 1. - С. 89-99.
41. Загребина, С.А. О существовании и устойчивости решений уравнений Навье - Стокса / С.А. Загребина // Вестн. МаГУ. Серия "Математика". - Магнитогорск, 2005. - Вып. 8. - С. 74-86.
42. Свиридюк, Г.А. Об одной модели динамики слабосжимаемой вязкоупругой жидкости / Г.А. Свиридюк // Изв. вузов. Математика. - 1994. - № 1. - C. 62-70.
43. Свиридюк, Г.А. Об относительно сильной p-секториальности линейных операторов / Г.А. Свиридюк, Г.А. Кузнецов // Докл. Акад. наук. - 1999. - Т. 365, № 6. - С. 736-738.
44. Свиридюк, Г.А. Уравнения Баренблатта - Желтова - Кочиной на графе / Г.А. Свиридюк, В.В. Шеметова // Вестник МаГУ. Серия "Математика". - Магнитогорск, 2003. - Вып. 4. - С. 129-139.