Stochastic Leontieff Type Equations and Mean Derivatives of Stochastic Processes

Стохастические дифференциальные уравнения леонтьевского типа мы понимаем как специальный класс стохастических дифференциальных уравнений в форме Ито, у которых в левой части имеется вырожденный постоянный линейный оператор, а в правой части - невырожденный постоянный линейный оператор. Также в правой части имеется слагаемое, зависящее только от времени. Его физический смысл - входящий сигнал в устройство, описываемое указанными выше операторами. В статьях А.Л. Шестакова и Г.А. Свиридюка подобные уравнения использованы для описания динамически искаженных сигналов. Переход к стохастическим дифференциальным уравнениям возникает при необходимости учета помех. Отметим, что для исследования решений таких уравнений необходимо использовать производные произвольного порядка от сигнала и от помех. В этой статье для дифференцирования помех мы применяем аппарат так называемых производных в среднем по Нельсону от случайных процессов. Это позволяет при исследовании не использовать аппарат теории обобщенных функций. Мы даем краткое введение в теорию производных в среднем, исследуем преобразование уравнений к каноническому виду и находим формулы для решений в терминах производных в среднем винеровского процесса.

Ключевые слова

производная в среднем, текущая скорость, винеровский процесс, уравнение леонтьевского типа.

Литература

1. Шестаков, А.Л. Новый подход к измерению динамически искаженных сигналов / А.Л. Шестаков, Г.А. Свиридюк // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2010. - № 16 (192), вып. 5. - С. 116-20.
2. Shestakov, A.L Optimal Measurement of Dynamically Distorted Signals / A.L. Shestakov, G.A. Sviridyuk // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2011. - № 17 (234), вып. 8. - C. 70-75.
3. Гликлих, Ю.Е. Изучение уравнений леонтьевского типа с белым шумом методами производных в среднем случайных процессов / Ю.Е. Гликлих // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2012. - № 27(286), вып. 13. - С. 24-34.
4. Nelson, E. Derivation of the Schr'odinger Equation from Newtonian Mechanics / E. Nelson // Phys. Reviews. - 1966. - V. 150, № 4. - P. 1079-1085
5. Nelson, E. Dynamical Theory of Brownian Motion / E. Nelson. - Princeton: Princeton University Press, 1967. - 142 p.
6. Nelson, E. Quantum Fluctuations / E. Nelson.- Princeton: Princeton University Press, 1985. - 147 p.
7. Гликлих, Ю.Е. О приведении стохастических уравнений леонтьевского типа к каноническому виду / Ю.Е. Гликлих, Е.Ю. Машков // Измерения: состояние, перспективы развития: тез. докл. междунар. науч.-практ. конф., Челябинск 25-27 сентября 2012 г. - Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ, 2012. - Т. 1.- С. 73-75.
8. Shestakov, A.L. On the Measurement of the "White Noise" / A.L. Shestakov, G.A. Sviridyuk // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2012. - № 27 (286), вып. 13. - P. 99-108.
9. Гликлих, Ю.Е. Глобальный и стохастический анализ в задачах математической физики / Ю.Е. Гликлих. - М.: УРСС, 2005. - 416 с.
10. Gliklikh, Yu.E. Global and Stochastic Analysis with Applications to Mathematical Physics / Yu.E. Gliklikh. - London: Springer-Verlag, 2011. - 460 p.
11. Parthasarathy, K.R. Introduction to Probability and Measure. N.Y., Springer-Verlag, 1978. 343 p.
12. Cresson, J. Stochastic Embedding of Dynamical Systems / J. Cresson, S. Darses // J. of Mathematical Physics. - 2007. - V. 48. - P. 072703-1 - 072303-54. [DOI: 10.1063/1.2736519].
13. Гантмахер, Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер.- М.: Физматлит, 1967. - 575 с.
14. Гихман, И.И. Введение в теорию случайных процессов / И.И Гихман, А.В. Скороход. - М.: Наука, 1977. - 567 с.