Об оценке точности приближенного решения обратной граничной задачи для параболического уравнения

Статья посвящена проблеме разработки метода проекционной регуляризации, исследованию вопросов повышения его эффективности с помощью получения точных по порядку оценок погрешности этого метода и приложению его для решения обратных граничных задач теплообмена. В настоящей работе решается одномерная задача о восстановлении условий теплообмена на одном из концов однородного стержня конечной длины по результатам измерений температуры с конечной ошибкой в точке, находящейся на некотором расстоянии от этого конца. Рассматриваемая обратная задача является некорректной. В работе дается аналитическое решение этой задачи в терминах преобразования Фурье, выписан регуляризующий оператор, указан способ выбора параметра регуляризации и доказана оптимальность по порядку, используемого регуляризующего алгоритма в пространстве $L_2$. Установлено, что точность приближений имеет порядок $ln^{-1}delta$.
В настоящее время, при использовании вычислительных методов все больше внимания уделяется оценкам погрешности применяемых алгоритмов, их точности и оптимальности. Особую роль эти вопросы играют при численном расчете некорректных задач с использованием различных регуляризаторов. В работе разработана новая технология получения оценки погрешности при решении обратных граничных задач теплообмена. Результаты могут быть использованы как при реальных численных расчетах тепловых характеристик обратных задач теплообмена,так и при разработке новых регуляризующих алгоритмов подобных задач.

Ключевые слова

обратная задача, регуляризация, оценка погрешности, некорректная задача, преобразование Фурье.

Литература

1. Танана, В.П. Методы решения операторных уравнений / В.П. Танана. - М.: Наука, 1981.
2. Танана, В.П. О гарантированной оценке точности приближенного решения одной обратной задачи тепловой диагностики / В.П. Танана, А.И. Сидикова // Тр. Ин-та Математики и Механики УрО РАН. - 2010. - Т. 16, № 2. - С. 1-15.
3. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. - М.: Наука, 1972.
4. Привалов, И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного / И.И. Привалов. - М.: Наука, 1984.