О задаче минимальной реализации

Предполагается, что для линейной конечномерной стационарной динамической системы $Sigma$ с дискретным временем известна степень МакМиллана $delta$ и конечная последовательность ее марковскиx параметров $G_1,ldots,G_m$, $mgeqslant 2delta$. Рассматриваются задачи восстановления по этим данным переходной матрицы-функции G(z) системы, минимальных индексов и взаимно простых дробных факторизаций G(z), минимальных решений соответствующих уравнений Безу, минимальной реализации $Sigma$. Для каждой из них существует отдельный алгоритм решения. В данной работе предлагается единый подход к исследованию этих проблем. Он основан на методе индексов и существенных многочленов конечной последовательности матриц. Этот метод был ранее разработан для явного решения задачи факторизации Винера - Хопфа мероморфных матриц-функций. Показано, что решение всех вышеуказанных задач может быть получено, как только будут найдены индексы и существенные многочлены последовательности $G_1,ldots,G_m$. Вычисление индексов и существенных многочленов можно осуществить средствами линейной алгебры. Для матриц с элементами из поля рациональных чисел алгоритм реализован в среде Maple в виде процедуры ExactEssPoly.

Ключевые слова

дискретная линейная конечномерная стационарная динамическая система, дробная факторизация, минимальная реализация.

Литература

1. Kailath, Thomas. Linear Systems / Thomas Kailath. - N.J.: Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, 1980.
2. Калман, Р. Очерки по математической теории систем / Р. Калман, П. Фалб, М. Арбиб. - М.: Едиториал-УРСС, 2004.
3. Adukov, V.M. Generalized Inversion of Block Toeplitz Matrices / V.M. Adukov // Linear Algebra Appl. - 1998. - V. 274.- P. 85-124.
4. Адуков, В.М. Факторизация Винера - Хопфа мероморфных матриц-функций / В.М. Адуков // Алгебра и анализ. - 1992. - Т. 4, вып. 1. - С. 54-74.
5. Адуков, В.М. Факторизация Винера - Хопфа кусочно мероморфных матриц-функций / В.М. Адуков // Математический сборник. - 2009. - Т. 200, № 8. - С. 3-24.
6. Adukov, V.M. The Uniform Convergence of Subsequences of the Last Intermediate Row of the Pad'e Table / V.M. Adukov // J. Approx. Theory. - 2003. - V. 122, № 2. - P. 160-207.
7. Adukov, V.M. The Essential Polynomial Approach to Convergence of Matrix Pad'e Approximants / V.M. Adukov // Contemporary Math. - 2001. - V. 280. - P. 71-87.
8. Adukov, V.M. Generalized Inversion of Finite Rank Toeplitz and Hankel Operators with Rational Matrix Symbols / V.M. Adukov // Linear Algebra Appl. - 1999. - V. 290. - P. 119-134.
9. Adukov, V.M. Fractional and Wiener-Hopf factorizations / V.M. Adukov // Linear Algebra Appl. - 2002. - V. 340/1 - 3. - P. 199-213.
10. Ibryaeva, O.L. An Algorithm for Computing a Pade Approximant with Minimal Degree Denominator / O.L. Ibryaeva, V.M. Adukov // J. of Computational and Applied Mathematics. - 2013. - V. 237, № 1. - P. 529-541.
11. Винокуров, В.А. Необходимое и достаточное условие линейной регуляризуемости / В.А. Винокуров, Л.Д. Менихес // Доклады АН СССР. - 1976. - Т. 229, № 6. - С. 1292-1294.
12. Менихес, Л.Д. О регуляризуемости отображений, обратных к интегральным операторам / Л.Д. Менихес // Докл. АН СССР. - 1978. - Т. 241, № 2. - С. 282-285.
13. Fuhrmann, P.A. Functional Models in Linear Algebra / P.A. Fuhrmann // Linear Algebra Appl. - 1992. - V. 162/164. - P. 107-151.