Итерационные алгоритмы ньютоновского типа и их приложения к обратной задаче гравиметрии

В статье представлен краткий обзор подходов к построению итерационных процессов ньютоновского и градиентного типов для устойчивой аппроксимации решений нелинейных нерегулярных операторных уравнений в гильбертовых пространствах. Для двухэтапного алгоритма, основанного на схеме регуляризации Лаврентьева и модифицированном методе Ньютона, формулируются теоремы сходимости и обсуждаются результаты численного решения трехмерной обратной задачи гравиметрии для модели двухслойной среды.

Ключевые слова

нерегулярное операторное уравнение, модифицированный метод Ньютона, обратная задача гравиметрии.

Литература

1. Бакушинский, А.Б. Регуляризующий алгоритм на основе метода Ньютона-Канторовича для решения вариационных неравенств / А.Б. Бакушинский // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1967. - Т. 7, № 3. - С. 672-677.
2. Бакушинский, А.Б. К проблемам сходимости итеративно регуляризованного метода Гаусса-Ньютона / А.Б. Бакушинский // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1992. - Т. 32, № 9. - С. 1503-1509.
3. Бакушинский, А.Б. Итеративные методы решения некорректных задач / А.Б. Бакушинский, А.В. Гончарский. - М.: Наука, 1989.
4. Hanke, M.A. A Regularization Levenberg-Marquardt Scheme with Applications to Inverse Groundwater Filtration Problems / M. Hanke // Inverse problems. - 1997. - V. 13. - P. 79-95.
5. Kaltenbacker, B. Iterative Regularization Methods for Nonlinear Ill-Posed Problems / B. Kaltenbacker, A. Neubauer, O. Scherzer. - Berlin; N.Y.: Walter do Gruyter, 2008.
6. Hanke, M. The Regularizing Levenberg-Marquard Scheme is of Optimal Order / M. Hanke // Integral equations & Applications. - 2010. - V. 22, №. 2. - P. 259-283.
7. Scherzer, O. Convergence Criteria of Iterative Methods Based in Landveber Iteration for Solving Nonlinear Ill-Posed Problems /O. Scherzer // J. Math. Anal. Appl. - 1995. - V. 194. - P. 911-933.
8. Hanke, M.A. Convergence Analysis of the Landweber Iteration for Nonlinear Ill-Posed Problems / M. Hanke, A. Neubauer , O. Scherzer // Numer. Math. - 1995. - V. 72. - P. 21-37.
9. Neubauer, A. A Convergence Rate Result for a Steepest Descent Method and Minimal Error Method for the Solution of Nonlinear Ill-Posed Problems / A. Neubauer, O. Scherzer // J. Anal. Appl. - 1995. - V. 14, №. 2. - P. 369-377.
10. Васин, В.В. Метод Левенберга-Марквардта для аппроксимации нерегулярных операторных уравнений / В.В. Васин // Автоматика и телемеханика. - 1993. - № 3. - С. 28-37.
11. Vasin, V.V. Irregular Nonlinear Operator Equations: Tikhonov's Regularization and Iterative Approximation / V.V. Vasin // J. Inv. Ill-Posed problems. - 2013. - V. 21, №. 1. - P. 109-123.
12. George, S. On Convergence of Regularized Newton's Method for Nonlinear Ill-Posed Problems / S. George // J. of Inverse and III-Posed Problems. - 2010. - V. 18, №. 2. - P. 133-146.
13. George, S. An Analysis of Lavrentiev Regularization for Nonlinear Ill-Posed Problems Using an Iterative Regularization Method / S. George, A.I.Elmahdy // Int. J. Comput. Appl. Math. - 2010. - V. 5, №. 3. - P. 369-381.
14. Васин, В.В. Модифицированные процессы ньютоновского типа, порождающие фейеровские аппроксимации регуляризованных решений нелинейных уравнений / В.В. Васин // Труды Института математики и механики УрО РАН. - 2013. - T. 19, № 2. - С. 85-97.
15. Кокурин, М.Ю. Об организации глобального поиска при реализации схемы Тихонова / М.Ю. Кокурин // Известия вузов. Математика. - 2010. № 12. - С. 20-31.
16. Кокурин М.Ю. О выпуклости функционала Тихонова и итеративно регуляризованных методах решения нерегулярных операторных уравнений / М.Ю. Кокурин // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2010. - Т.50, № 4. - С. 651-664.
17. Васин, В.В. О сходимости методов градиентного типа для нелинейных уравнений / В.В. Васин // Доклады РАН. - 1998. - Т. 359, № 1. - С. 7-9.
18. Vasin, V.V. Operators and Iterative Processes of Fejer Type. Theory and Applications / V.V. Vasin, I.I. Eremin. - Berlin; N.Y.: Walter de Gruyter, 2009.
19. Vaisin, V.V. Iterative Processes of Gradient Type with Applications to Gravimentry and Magnitometry Inverse Problems / V.V. Vasin, G.G. Skorik // J. Inverse Ill-Posed Problems. - 2010. - V. 18, №. 1. - P. 855-876.
20. Васин, В.В. Метод Левенберга-Марквардта и его модифицированные варианты для решения нелинейных уравнений с приложением к обратной задаче гравиметрии / В.В. Васин, Г.Я. Пересторонина // Труды Института математики и механики УрО РАН. - 2011. - Т. 11, № 2. - С. 53-61.
21. Решение трехмерных обратных задач гравиметрии и магнитометрии для трехслойной среды / В.В. Васин, Г.Я. Пересторонина, И.Л. Пруткин, Л.Ю. Тимерханова // Математическое моделирование. - 2003. - Т. 15, № 2. - С. 69-76.
22. Akimova, E.N. Stable Parallel Algorithms for Solving the Inverse Gravimetry and Magnitometry Problems / E.N. Akimova, V.V. Vasin // Intern. J. Engineering Modelling. - 2004. - V. 17, №. 1-2. - P. 13-19.