On Factorization of a Differential Operator Arising in Fluid Dynamics

О факторизации одного дифференциального оператора, возникающего в гидродинамике. Спектральные свойства линейных операторов играют важную роль в анализе устойчивости динамических систем. В заметке исследуются свойства несамосопряженного дифференциального оператора второго порядка, связанного с исследованием проблемы устойчивости стационарного динамического состояния тонкой пленки, образованной вязкой ньютоновской жидкостью и расположенной на внутренней поверхности вращающегося цилиндра, при наличии гравитационного поля. Линеаризация по малому параметру (отношению толщины потока к размеру цилиндра) в этом случае порождает дифференциальный оператор с областью определения, вложенной в прямую сумму двух подпространств, натянутых, соответственно, на базисы ${e^{inx}}$ и ${e^{-inx}}$ (n>0), причем указанные подпространства не являются инвариантными по отношению к оператору, и одномерного подпространства констант. Доказывается, что этот оператор допускает представление в виде произведения двух дифференциальных операторов первого порядка. Полученное представление используется для доказательства компактности резольвенты исследуемого оператора и непосредственного описания его области определения.

Ключевые слова

спектральный анализ дифференциального оператора, факторизация, гидродинамика, прямое/обратное уравнение теплопроводности.

Литература

1. Azizov T.Ya., Iokhvidov I.S. Linear Operators in Spaces with Indefinite Metric. N.Y., Wiley, 1989.
2. Benilov E.S., O'Brien S.B.G., Sazonov I.A. A New Type of Instability: Explosive Disturbances in a Liquid Fild Inside a Rotating Horizontal Cylinder. J. Fluid Mech., 2003, vol. 497, pp. 201-224.
3. Benilov E.S., Kopteva N., O'Brien S.B.G. Does Surface Tension Stabilise Liquid Films Inside a Rotating Horizontal Cylinder. Q. J. Mech. Appl. Math., 2005, vol. 58, pp. 158-200.
4. Boulton L., Levitin M., Marletta M. On a Class of Non-Self-Adjoint Periodic Eigenproblems with Boundary and Interior Singularities. J. of Differential Equations, 2010, vol. 249, no. 12, pp. 3081-3098.
5. Chugunova M., Karabash I.M., Pyatkov S.G. On the Nature of Ill-Posedness of the Forward-Backward Heat Equation. Integral Equations and Operator Theory, 2009, vol. 65, pp. 319-344.
6. Chugunova M., Pelinovsky D. Spectrum of a Non-Self-Adjoint Operator Associated with the Periodic Heat Equation. J. Math. Anal. Appl., 2008, vol. 342, pp. 970-988.
7. Chugunova M., Strauss V. Factorization of the Indefinite Convection-Diffusion Operator. C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada, 2008, vol. 30, no. 2, pp. 40-47.
8. Davies E.B. An Indefinite Convection-Diffusion Operator. LMS J. Comp. Math., 2007, vol. 10, pp. 288-306.
9. Weir J. An Indefinite Convection-Diffusion Operator with Real Spectrum. Appl. Math. Lett., 2008, vol. 22, pp. 280-283.