Об устойчивых алгоритмах численного решения интегро-алгебраических уравнений

При исследованиях в различных областях приложений, если моделируемый процесс обладает последействием, возникает необходимость изучения интегро-алгебраических уравнений (ИАУ). В частности, в виде ИАУ можно записать систему взаимосвязанных интегральных уравнений Вольтерра I, II рода и алгебраических уравнений. В работе рассматриваются линейные ИАУ, для численного решения которых были сконструированы многошаговые методы, основанные на явных методах типа Адамса и экстраполяционных формулах. Ранее была доказана сходимость предлагаемых алгоритмов.
В данной работе показано, что полученные многошаговые алгоритмы обладают свойством саморегуляризации, а параметром регуляризации является шаг сетки, определенным образом связанный с уровнем погрешности правой части рассматриваемых систем. Результаты численных расчетов иллюстрируют теоретические выкладки.

Ключевые слова

интегро-алгебраические уравнения; многошаговые методы; саморегуляризация.

Литература

1. Апарцин, А.С. Неклассические уравнения Вольтерра I рода: теория и численные методы / А.С. Апарцин. - Новосибирск: Наука. Сиб. изд. фирма РАН, 1999.
2. Апарцин, А.С. Приближенное решение интегральных уравнений Вольтерра 1 рода методом квадратур / А.С. Апарцин, А.Б. Бакушинский // Дифференциальные и интегральные уравнения. - Иркутск: ИГУ, 1972. - Вып. 1. - С. 248-258.
3. Бояринцев, Ю.Е. Регулярные и сингулярные системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений / Ю.Е. Бояринцев. - Новосибирск: Наука, 1980. - 222 с.
4. Бояринцев, Ю.Е. Применение обобщенных обратных матриц к решению и исследованию систем дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка / Ю.Е. Бояринцев // Методы оптимизации и исследования операций. - Иркутск: СЭИ СО АН СССР, 1984. - С. 123-141.
5. Бояринцев, Ю.Е. Методы решения вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений / Ю.Е. Бояринцев. - Новосибирск: Наука, 1988. - 158 с.
6. Бояринцев, Ю.Е. Методы решения непрерывных и дискретных задач для сингулярных систем уравнений / Ю.Е. Бояринцев. - Новосибирск: Наука, 1996. - 261 с.
7. Бояринцев, Ю.Е. Применение разностных методов к решению регулярных систем обыкновенных дифференциальных уравнений / Ю.Е. Бояринцев, В.М. Корсуков // Вопр. приклад. математики. - Иркутск: СЭИ СО АН СССР, 1975. - С. 140-152.
8. Бояринцев, Ю.Е. Пучки матриц и алгебро-дифференциальные системы / Ю.Е. Бояринцев, И. В. Орлова. - Новосибирск: Наука, 2006. - 124 с.
9. Будникова, О.С. Численное решение интегро-алгебраических уравнений многошаговыми методами / О.С. Будникова, М.В. Булатов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2012. - Т. 52, № 5. - С. 829-839.
10. Булатов, М.В. Решение алгебро-дифференциальных систем методом наименьших квадратов / М.В. Булатов, В.Ф. Чистяков // Тр. XI Междунар. Байкал. шк.-семинара 'Методы оптимизации и приложения'. - Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 1998. - Т. 4. - С. 72-75.
11. Булатов, М.В. Регуляризация вырожденных систем интегральных уравнений Вольтерра / М.В. Булатов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2002. - Т. 42, № 3. - С. 330-335.
12. Верлань, А.Ф. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, решения / А.Ф. Верлань, В.С. Сизиков. - Киев: Наукова думка, 1986.
13. Тен Мен Ян Приближенное решение линейных интегральных уравнений Вольтерра I рода: дис. dots канд. физ. мат. наук / Тен Мен Ян. - Иркутск, 1985. - 215 с.
14. Чистяков, В.Ф. О сингулярных системах обыкновенных дифференциальных уравнений и их интегральных аналогах / В.Ф. Чистяков //Функции Ляпунова и их применения. - Новосибирск: Наука, 1987. - С. 231-239.
15. Хайрер, Э. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи: пер. с англ. / Э. Хайрер, Г. Ваннер. - М.: Мир, 1999. - 685 с.
16. Brenan, K.F. Numercal Solution of Initial-Value Problems in Differental-Algebraic Equations /K.F. Brenan, S.L. Campbell, L.R. Petzold // Appl. Math. - Philadelphia, 1996.
17. Brunner, H. The Numercal Solution of Volterra Equations / H. Brunner, P. J. van der Houwen. - Amsterdam: North-Holland, CWI Monographs 3, 1986.
18. Brunner, H. Collocation Methods for Volterra Integral and Related Functioal Equations / H. Brunner. - Cambridge: Unversity Press, 2004.
19. Kauthen, J.P. The Numerical Solution of Integral-Algebraic Equations of Index-1 by Pollinomial Spline Collocation Methods / J.P. Kauthen // Math. Comp. - 2000. - V. 236. - P. 1503-1514.
20. Linz, P. A Survey of Methods for the Solution of Volterra Integral Equations of the First Kind / P. Linz //Collocation Methods for Volterra Integral and Related Functional Equations. - University Press, Cambridge, 2004.
21. Hadizadeh, M. Jacobi Spectral Solution for Integral Algebraic Equations of Index-2 / M. Hadizadeh, F. Ghoreishi, S. Pishbin // Appl. Numer. Math. - 2011. - V. 61, issue 1. - P. 131-148.