Численный метод решения обратных задач, порожденных возмущенными самосопряженными операторами

На основе методов регуляризованных следов и Бубнова-Галеркина разработан новый метод решения обратных задач по спектральным характеристикам возмущенных самосопряженных операторов. Найдены простые формулы для вычисления собственных значений дискретных операторов, без нахождения корней соответствующего векового уравнения. Вычисление собственных значений возмущенного самосопряженного оператора можно начинать с любого их номера независимо от того, известны ли собственные значения с предыдущими номерами или нет. Численные расчеты нахождения собственных значений для оператора Штурма-Лиувилля показывают, что предлагаемые формулы при больших номерах собственных значений дают результат точнее, чем метод Бубнова-Галеркина. Кроме того, по найденным формулам можно вычислять собственные значения возмущенного самосопряженного оператора с очень большим номером, когда применение метода Бубнова-Галеркина становится затруднительным. Этот факт можно, например, использовать в задачах гидродинамической теории устойчивости, если необходимо находить знаки действительной или мнимой частей собственных значений этих задач с большими номерами.
Получено интегральное уравнение Фредгольма первого рода, позволяющее восстанавливать значения возмущающего оператора в узловых точках дискретизации.
Метод был проверен на обратных задачах для оператора Штурма-Лиувилля. Результаты многочисленных расчетов показали его вычислительную эффективность.

Ключевые слова

обратная спектральная задача; теория возмущений; дискретные и самосопряженные операторы; собственные числа; собственные функции; некорректно поставленные задачи.

Литература

1. Новый метод приближенного вычисления первых собственных чисел спектральной задачи гидродинамической устойчивости течения Пуазейля в круглой трубе / В.В. Дубровский, С.И. Кадченко, В.Ф. Кравченко, В.А. Садовничий // ДАН России. - 2001. - Т. 380, № 2. - С. 160-163.
2. Новый метод приближенного вычисления первых собственных чисел спектральной задачи Орра-Зомерфельда /В.В. Дубровский, С.И. Кадченко, В.Ф. Кравченко, В.А. Садовничий // ДАН России. - 2001. - Т. 378, № 4. - С. 443-446.
3. Вычисление первых собственных значений задачи гидродинамической устойчивости течения вязкой жидкости между двумя вращающимися цилиндрами / В.А. Садовничий, В.В. Дубровский, С.И. Кадченко, В.Ф. Кравченко // Дифференциальные уравнения. - 2000. - Т. 36, № 6. - С. 742-746.
4. Кадченко, С.И. Вычисление сумм рядов Релея-Шредингера возмущенных самосопряженных операторов / С.И. Кадченко // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2007. - Т. 47, № 9. - С. 1494-1505.
5. Кадченко, С.И. Метод регуляризованных следов / С.И. Кадченко // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2009. - № 37 (170), вып. 4. - С. 4-23.
6. Кадченко, С.И. Численный метод нахождения собственных значений дискретных полуограниченных снизу операторов / С.И. Кадченко, Л.С. Рязанова // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2011. - № 17 (234), вып. 8. - С. 46-51.
7. Садовничий, В.А. Теория операторов: учеб. для вузов / В.А. Садовничий. - 3-е изд., стер. - М.: Высш. шк., 1999. - 368 с.
8. Михлин, С.Г. Вариационные методы в математической физике / С.Г. Михлин. - М.: Наука, 1970. - 510 с.
9. Демидович, Б.П. Основы вычислительной математики / Б.П. Демидович, И.А. Марон. М.: Наука, 1966. - 659 с.
10. Васильева, А.Б. Интегральные уравнения / А.Б. Васильева, Н.А. Тихонов. - М.: МГУ, 1989. - 156 с.
11. Верлань, А.Ф. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы / А.Ф. Верлань, В.С. Сизиков. - Киев: Наукова думка, 1986. - 542 с.