Исследование разрешимости слабо-нелинейных дифференциально-алгебраических систем

В работе рассматриваются системы дифференциально-алгебраических уравнений с выделенной линейной частью и малым нелинейным слагаемым. Такие уравнения ниже называются слабо-нелинейными. Матрицы коэффициентов линейной части могут быть прямоугольными. Дополнительно предполагается, что решение удовлетворяет краевым условиям достаточно общего вида. Основным предположением относительно линейной части является возможность приведения ее к некоторому каноническому виду, введеного в работах В.Ф. Чистякова. Применяя специальную технику, исследование исходной краевой задачи сводится к изучению оператора, который при достаточно малом значении параметра, при нелинейном члене является сжимающим. В рамках сделанных исходных предположений получены необходимые и достаточные условия существования решений слабо-нелинейных дифференциально-алгебраических систем.

Ключевые слова

дифференциально-алгебраические уравнения; индекс; неявный; слабо нелинейный.

Литература

1. Campbell, S.L. Canonical Forms and Solvable Singular Systems of Differential Equations / S.L. Campbell, L.R. Petzold // SIAM J. Alg. Discrete Methods. - 1983. - № 4. - P. 517-521.
2. Samoilenko, A.M. On the Reducibility of a Singular Linear System to Central Canonical Form / A.M. Samoilenko, V.P. Yakovets // Dokl. Akad. Nauk Ukrainy. - 1993. - № 4. - P. 10-15.
3. Численные методы решения сингулярных систем / Ю.Е. Бояринцев, В.А.Данилов, А.А. Логинов, В.Ф. Чистяков. - Новосибирск: Наука, 1989.
4. Бояринцев, Ю.Е. Алгебро-дифференциальные системы. Методы решения и исследования / Ю.Е. Бояринцев, В.Ф. Чистяков. - Новосибирск: Наука, 1998.
5. Самойленко, А.М. Лiнiйнi системи диференцiальних рiвнянь з виродженнями / А.М. Самойленко, М.I. Шкiль, В.П. Яковець. - Киев: Вища школа, 2000.
6. Чистяков, В.Ф. Избранные главы теории алгебро-дифференциальных систем / В.Ф. Чистяков, А.А. Щеглова. - Новосибирск: Наука, 2003.
7. Kunkel, P. Differential-Algebraic Equations: Analysis and Numerical Solution / P. Kunkel, V. Mehrmann. - European Mathematical Society, 2006.
8. Жук С.М. Замкнутость и нормальная разрешимость оператора, порожденного линейным дифференциальным уравнением с переменными коэффициентами // Нелинейные колебания. - 2007. - Т. 10, № 4. - С. 464-479.
9. Boichuk, A.A. Singular Fredholm boundary value problems / A.A. Boichuk, L.M. Shegda // Nelin. Koliv. - 2007. - V. 10, № 3. - P. 303-312.
10. Бойчук, А.А. О применении теории возмущений к исследованию разрешимости дифференциально-алгебраических уравнений / А.А. Бойчук, А.А. Покутный, В.Ф. Чистяков // Журнал вычислительной математики и математической физики // 2013. - Т. 53, № 6. - С. 958 - 969.
11. Boichuk, A.A. Generalized Inverse Operators and Fredholm Boundary-Value Problems/A.A. Boichuk, A.M. Samoilenko. - Utrecht; Boston: VSP, 2004.
12. Boichuk, A.A. Bifurcation of Solutions of Singular Fredholm Boundary Value Problems / A.A. Boichuk, L.M. Shegda // Differential equations. - 2011. - V. 47, № 4. - P. 459-467.
13. Pokutnyi, A.A. Bounded solutions of linear and weakly nonlinear differential equations in a Banach space with unbounded operator in the linear part/ A.A. Pokutnyi // Differential equations. - 2012. - V. 48, № 6. - P. 803-813.