Обратная задача для гиперболического уравнения второго порядка с неизвестным коэффициентом, зависящим от времени

Работа посвящена исследованию разрешимости обратной задачи с неизвестным коэффициентом, зависящим от времени для гиперболических уравнений второго порядка, единственности ее решения. Суть задачи состоит в том, что требуется вместе с решением определить неизвестный коэффициент. Задача рассматривается в прямоугольной области, задаются условия обычной начально-краевой задачи и некоторое условие переопределения, необходимое для нахождения неизвестного коэффициента. При решении исходной задачи осуществляется переход от обратной задачи к некоторой прямой вспомогательной задаче с нулевыми граничными условиями. Доказывается разрешимость вспомогательной задачи в описанном выше классе функций. Затем вновь производится переход к исходной задаче, в результате делается вывод о разрешимости обратной задачи. При доказательстве используются метод продолжения по параметру, метод неподвижной точки, методы срезки и регуляризации. В работе доказываются теоремы существования, единственности решения в рассматриваемых классах.

Ключевые слова

обратная задача; гиперболическое уравнение; нагруженные уравнения; метод продолжения по параметру; метод неподвижной точки; метод регуляризации.

Литература

1. Валитов, И.Р. Обратные задачи для гиперболических уравнений: случай неизвестных коэффициентов, зависящих от времени / И.Р. Валитов, А.И. Кожанов // Вестн. НГУ. Сер. Математика, механика, информатика. - 2006. - Т. 6, № 1. - С. 3-18.
2. Валитов, И.Р. О разрешимости двух обратных задач для гиперболических уравнений / И.Р. Валитов // Тр. Стерлитамак. филиала Акад. наук республики Башкортостан. Сер. Физико-математические и технические науки. - 2006. - № 3. - С. 64-73.
3. Павлов, С.С. Нелинейные обратные задачи для многомерных гиперболических уравнений с интегральным переопределением / С.С. Павлов // Мат. заметки ЯГУ. - 2011. - Т. 19, № 2. - С. 128-154.
4. Якубов, С.Я. Линейные дифференциально-операторные уравнения и их приложения / С.Я. Якубов. - Баку: Элм, 1985.
5. Кожанов, А.И. Нелинейные нагруженные уравнения и обратные задачи / А.И. Кожанов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2004. - Т. 44, № 4. - С. 694-716.
6. Кожанов, А.И. О разрешимости некоторых нелинейных обратных задач для уравнений составного типа / А.И. Кожанов // Тр. III междун. конф. 'Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы биологии, информатики, физики'. - Нальчик, 2006. - № 5. - С. 42-51.
7. Треногин, В.А. Функциональный анализ / В.А. Треногин. - М.: Наука, 1980. - 488 с.
8. Демидович, Б.П. Лекции по математической теории устойчивости / Б.П. Демидович. - М.: Наука, 1967. - 472 с.
9. Ладыженская, О.А. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа / О.А. Ладыженская, Н.Н. Уральцева. - М.: Наука, 1973. - 578 с.