Квадратурные формулы высокого порядка аппроксимации

В работе предлагается метод построения квадратурной формулы высокого порядка аппроксимации для широкого класса областей, основанный на приближении гладкой функции на плоскости полулокальным сглаживающим сплайном или S-сплайном. Полулокальные сглаживающие сплайны были введены Д.А. Силаевым. Ранее рассматривались и применялись сплайны 3-й и 5-й степени. Настоящая работа посвящена использованию S-сплайнов более высоких степеней. Появление устойчивых S-сплайнов класса C^0 (только непрерывных), состоящих из полиномов высокой степени n (n=9, 10) позволило получить квадратурные формулы 10-го и 11-го порядков аппроксимации. Предполагается, что интегрируемая функция принадлежит классу C^p (p=10, 11) в несколько большей области, чем исходная область, по которой ведется интегрирование. Предполагается также, что граница области задана параметрически, что позволяет с высокой степенью точности учесть границу области. Подобный подход возможен и для построения кубатурных формул.

Ключевые слова

аппроксимация; сплайны; интегралы; квадратурные формулы; численные методы.

Литература

1. Бабенко, К.И. Основы численного анализа / К.И. Бабенко. - М.; Ижевск: НИЦ Регулярная и хаотическая динамика, 2002.
2. Соболев, С.Л. Введение в теорию кубатурных формул / С.Л. Соболев. - М.: Наука, 1974.
3. Мысовских, И.П. Интерполяционные кубатурные формулы / М.П. Мысовских. - М.: Наука, 1981.
4. Крылов, А.Н. Лекции о приближенных вычислениях / А.Н. Крылов. - М.; Л.: ГИТТЛ, 1950.
5. Стечкин, С.Б. Сплайны в вычислительной математике / С.Б. Стечкин, Ю.Н. Субботин. - М.: Наука, 1976.
6. Завьялов, Ю.С. Методы сплайн-функций / Ю.С. Завьялов, Б.И. Квасов, В.Л. Мирошниченко. - М.: Наука, 1980.
7. Колмогоров, А.Н. О представлении непрерывных функций нескольких переменных в виде суперпозиции функций одного переменного и сложения / А.Н. Колмогоров // Избранные труды. Математика и механика. - М.: Наука, 1985.
8. Соболев, С.Л. Кубатурные формулы / С.Л. Соболев, В.Л. Васкевич. - Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1996.
9. Рамазанов, М.Д. Теория решетчатых кубатурных формул с ограниченным пограничным слоем / М.Д. Рамазанов. - Уфа: ИМВЦ УНЦ РАН, 2009.
10. Силаев, Д.А. О кубатурных формулах высокого порядка аппроксимации для широкого класса областей / Д.А. Силаев, Д.О. Коротаев // Сб. тр. XVI междунар. конф. 'Математика. Компьютер. Образование' / под ред. Г.Ю. Ризниченко. - Ижевск, 2009. - Т. 2. - С. 20-38.
11. Силаев, Д.А. О кубатурных формулах высокого порядка аппроксимации для произвольных областей / Д.А. Силаев // Сб. тр. междун. конф. 'Современная математика и математическое образование, проблемы истории и философии математики' / под ред. А.А. Артемова. - Тамбов, 2008. - С. 65-70.
12. Силаев, Д.А. Полулокальные сглаживающие S-сплайны / Д.А.Силаев // Компьютерные исследования и моделирование. - 2010. - Т. 2, № 4. - С. 349-358.
13. Силаев, Д.А. Приближение S-сплайнами гладких функций / Д.А. Силаев, Г.И. Якушина // Тр. семинара имени И.Г. Петровского. - 1984. - Вып. 10. - С. 197-206.
14. Силаев, Д.А. S-сплайн на круге / Д.А. Силаев, Д.О. Коротаев // Тез. междунар. конф. 'Математика. Компьютер. Образование'. - Пущино, 2003. - С. 157.