Статика и динамика стержня при продольном нагружении

Дается краткий обзор работ по статической и динамической устойчивости тонкого стержня под действием осевого сжатия. При линейном подходе критическая нагрузка при статическом сжатии найдена Л. Эйлером. В работе М.А. Лаврентьева и А.Ю. Ишлинского установлено, что при интенсивном нагружении, существенно превосходящем эйлерову статическую критическую нагрузку, наибольшую скорость роста амплитуды поперечного прогиба имеет форма с большим числом волн в продольном направлении. Последующие исследования связаны с учетом распространения продольных волн по длине стержня. Исследованы условия возникновения параметрических резонансов, установлена возможность потери устойчивости при нагрузке, меньшей эйлеровой. При квази-линейном подходе обнаружен эффект возникновения биений с переходом энергии продольных колебаний в поперечные и наоборот. При длительном воздействии с нагрузкой, превосходящей эйлерову, как линейный, так и квазилинейный подход не приводит к конечным значениям амплитуды поперечных перемещений. Поэтому используется нелинейный подход. Исследуется развитие закритических деформаций стержня и отмечается связь картины деформирования с эффектом, обнаруженным Лаврентьевым и Ишлинским, с одной стороны, и с эластиками Эйлера - с другой.

Ключевые слова

устойчивость стержня; параметрический резонанс; биения; эластики Эйлера.

Литература

1. Эйлер, Л. Метод нахождения кривых, обладающих свойством максимума либо минимума / Л Эйлер. - М.-Л.: ГТТИ, 1934.
2. Hutchinson, W.J. Dynamic Buckling Estimates / W.J. Hutchinson, B. Budiansky // AIAA J. - 1966. - V. 4, № 3. - P. 527-530.
3. Knauss, W.G. Some Basic Problems in Stress Wave Dominated Fracture / W.G. Knauss, K. Ravi-Chandar // Intern. J. Fracture. - 1985. - V. 27, issue 3-4. - P. 127-143.
4. Морозов, Н.Ф. Проблемы динамики разрушения / Н.Ф. Морозов, Ю.В. Петров. - СПб.: Изд-во СПбГУ, 1997.
5. Bratov, V.A. Dynamic Strength of Continuum / V.A. Bratov, N.F. Morozov, Yu.V Petrov. - SPb: St. Petersburg Univ. Press. 2009.
6. Болотин, В.В. Динамическая устойчивость упругих систем / В.В. Болотин. - М.: Наука, 1956.
7. Вольмир, А.С. Устойчивость сжатых стержней при динамическом нагружении / А.С. Вольмир // Строит. мех. и расчет сооружений. - 1960. - № 1. - С. 6-9.
8. Лаврентьев, M.A. Динамические формы потери устойчивости упругих систем / M.A. Лаврентьев, А.Ю. Ишлинский // Докл. АН СССР. - 1949. - Т. 64, № 6. - С. 776-782.
9. Пановко, Я.Г. Устойчивость и колебания упругих систем / Я.Г. Пановко, И.И. Губанова - М.: Наука, 1987.
10. Вольмир, А.С. Устойчивость упругих систем / А.С. Вольмир - М.: ГИТТЛ, 1962.
11. Болотин, В.В. Поперечные колебания и критические скорости / В.В. Болотин. - М.: Изд-во АН СССР, 1951. - Вып. 1; 1953. - Вып. 2.
12. Морозов, Н.Ф. Динамика стержня при продольном ударе / Н.Ф. Морозов, П.Е. Товстик // Вестник СПбГУ. Сер. 1. - 2009. - № 2. - С. 105-111.
13. Беляев, А.К. Динамический подход к задаче Ишлинского-Лаврентьева / А.К. Беляев, Д.Н. Ильин, Н.Ф. Морозов // Изв. РАН. Механика твердого тела. - 2013. - № 5. - С. 28-33.
14. Морозов, Н.Ф. Динамика стержня при кратковременном продольном ударе. / Н.Ф. Морозов, П.Е. Товстик // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. - 2013. - Вып. 3. - С. 131-141.
15. Морозов, Н.Ф. Поперечные колебания стержня, вызванные продольным ударом / Н.Ф. Морозов, П.Е. Товстик // Доклады Российской академии наук. - 2013. - Т. 452, № 1. - С. 37-41.
16. Пальмов, В.А. Колебания упругопластических тел / В.А. Пальмов - М.: Наука, 1976.
17. Ляпунов, А.М. Общая задача об устойчивости движения / А.М. Ляпунов - М.-Л.: Гостехиздат, 1950.
18. Якубович, В.А. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения / В.А. Якубович, В.М. Старжинский - М.: Наука, 1972.
19. Илюхин, А.А. Пространственные задачи нелинейной теории упругих стержней / А.А. Илюхин. - Киев: Наукова думка, 1979.