Динамические модели соболевского типа с условием Шоуолтера - Сидорова и аддитивными 'шумами'

Концепция 'белого шума', первоначально построенная в конечномерных пространствах, переносится в бесконечномерные пространства. Цель переноса - развитие теории стохастических уравнений соболевского типа и разработка приложений, имеющих практическую значимость. Для достижения цели вводится производная Нельсона - Гликлиха и строятся пространства 'шумов'. Уравнения соболевского типа с относительно $p$-ограниченными операторами рассматриваются в пространствах дифференцируемых <<шумов>>, причем доказывается существование и единственность их классических решений. В качестве приложения рассматривается стохастическое уравнение Баренблатта - Желтова - Кочиной в ограниченной области с однородным граничным условием Дирихле и начальным условием Шоуолтера - Сидорова.

Ключевые слова

уравнения соболевского типа; винеровский процесс; производная Нельсона - Гликлиха; <<белый шум>>; пространство <<шумов>>; стохастическое уравнение Баренблатта - Желтова - Кочиной.

Литература

1. Arato, M. Linear Stochastic Systems with Constant Coefficients. A Statistical Approach / M. Arato. - Berlin; Heidelberg; N.-Y.: Springer, 1982.
2. Gliklikh, Yu.E. Global and Stochastic Analysis with Applications to Mathematical Physics / Yu.E. Gliklikh. - London; Dordrecht; Heidelberg; N.-Y.: Springer, 2011.
3. Da Prato, G. Stochastic Equations in Infinite Dimensions / G. Da Prato, J. Zabczyk. - Cambridge: Cambridge University Press, 1992.
4. Kovacs, M. Introduction to Stochastic Partial Differential Equations / M. Kovacs, S. Larsson // Proceedings of <<New Directions in the Mathematical and Computer Sciences>>, National Universities Commission, Abuja, Nigeria, October 8-12, 2007. V. 4. - Lagos: Publications of the ICMCS, 2008. - P. 159-232.
5. Замышляева, А.А. Стохастические неполные линейные уравнения соболевского типа высокого порядка с аддитивным белым шумом / А.А. Замышляева // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2012. - № 40, вып. 14. - С. 73-82.
6. Загребина, С.А. Линейные уравнения соболевского типа с относительно p-ограниченными операторами и аддитивным белым шумом / С.А. Загребина, Е.А. Солдатова // Известия Иркутского государственного университета. Серия: Математика. - 2013. - № 1. - С. 20-34.
7. Melnikova, I.V. Abstract Stochastic Equations II. Solutions in Spaces of Abstract Stochastic Distributions / I.V. Melnikova, A.I. Filinkov, M.A. Alshansky // J. of Mathematical Sciences. - 2003. - V. 116, № 5. - P. 3620-3656.
8. Melnikova, I.V. Generalized Solutions to Abstract Stochastic Problems / I.V. Melnikova, A.I. Filinkov // J. Integ. Transf. and Special Funct. - 2009. - V. 20, № 3-4. - P. 199-206.
9. Шестаков, А.Л. О новой концепции белого шума / А.Л. Шестаков, Г.А. Свиридюк // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2012. - Т. 19, № 2. - С. 287.
10. Shestakov, A.L. On the Measurement of the <<White Noise>> / A.L. Shestakov, G.A. Sviridyuk // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2012. - № 27 (286), вып. 13. - С. 99-108.
11. Гликлих, Ю.Е. Изучение уравнений леонтьевского типа с белым шумом методами производных в среднем случайных процессов / Ю.Е. Гликлих // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2012. - № 27 (286), вып. 13. - С. 24-34.
12. Shestakov, A.L. Optimal Measurement of Dynamically Distorted Signals / A.L. Shestakov, G.A. Sviridyuk // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2011. - № 17 (234), вып. 8. - С. 70-75.
13. Шестаков, А.Л. Численное решение задачи оптимального измерения / А.Л. Шестаков, А.В. Келлер, Е.И. Назарова // Автоматика и телемеханика. - 2012. - № 1. - С. 107-115.
14. Шестаков, А.Л. Динамические измерения в пространствах <<шумов>> / А.Л. Шестаков, Г.А. Свиридюк, Ю.В. Худяков // Вестник ЮУрГУ. Серия: Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника. - 2013. - Т. 13, № 2. - С. 4-11.
15. Свиридюк, Г.А. Задача Шоуолтера - Сидорова как феномен уравнений соболевского типа / Г.А. Свиридюк, С.А. Загребина // Известия Иркутского государственного университета. Серия: Математика. - 2010. - Т. 3, № 1. - С. 104-125.
16. Куропатенко, В.Ф. Мезомеханика однокомпонентных и многокомпонентных материалов / В.Ф. Куропатенко // Физическая мезомеханика. - 2001. - Т. 4, № 3. - С. 49-55.
17. Куропатенко, В.Ф. Обмен импульсом и энергией в неравновесных многокомпонентных средах / В.Ф. Куропатенко // Прикладная механика и техническая физика. - 2005. - № 1. - С. 7-15.
18. Куропатенко, В.Ф. Новые модели механики сплошных сред / В.Ф. Куропатенко // Инженерно-физический журнал. - 2011. - Т. 84, № 1. - С. 74-92.
19. Nelson, E. Dynamical Theories of Brownian Motion / E. Nelson. - Princeton: Princeton University Press, 1967.
20. Свиридюк, Г.А. К общей теории полугрупп операторов / Г.А. Свиридюк // Успехи математических наук. - 1994. - Т. 49, № 4. - С. 47-74.
21. Трибель, Х. / Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы / Х. Трибель. - М.: Мир, 1980. - 664 c.
22. Свиридюк Г.А. / Линейные уравнения соболевского типа / Г.А. Свиридюк, В.Е. Федоров. - Челябинск: Челябинский гос. ун-т, 2003. - 179 с.