Математические модели соболевского типа высокого порядка

Статья содержит обзор результатов автора в области математических моделей на основе уравнений соболевского типа высокого порядка. Теория построена на основе известных фактов по разрешимости начальных (начально-конечных) задач для уравнений соболевского типа первого порядка. Идея базируется на обобщении теории вырожденных (полу)групп операторов на случай уравнений соболевсого типа высокого порядка: расщеплении пространств, действий всех операторов, построении пропагаторов и фазового пространства однородного уравнения, а также множества допустимых начальных значений для неоднородного уравнения. Мы используем уже хорошо зарекомендовавший себя при решении уравнений соболевского типа метод фазового пространства, заключающийся в редукции сингулярного уравнения к регулярному, определенному на некотором подпространстве исходного пространства. В работе проводится редукция математических моделей к начальным (начально-конечным) задачам для абстрактного уравнения соболевского типа высокого порядка. Полученные результаты могут найти дальнейшее применение при исследовании задач оптимального управления, нелинейных математических моделей, а также для построения теории уравнений соболевского типа высокого порядка в квазибанаховых пространствах.

Ключевые слова

уравнения соболевского типа высокого порядка; фазовое пространство; пропагаторы; начально-конечная задача; относительный спектр.

Литература

1. Sviridyuk, G.A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov. - Utrecht; Boston; Koln; Tokyo: VSP, 2003. - 179 p.
2. Cristiansen, P.L. On a Toda Lattice Model with a Transversal Degree of Freedom / P.L. Cristiansen, V. Muto, P.S. Lomdahl // Nonlinearity. - 1990. - № 4. - P. 477-501.
3. Boussinesq, J.V. Essai sur la th'eorie des eaux courantes. - M'em. P'esent'es Divers Savants Acad. Sci. Inst. France. - 1877. - № 23. - P. 1-680.
4. Ладыженская, О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости / О.А. Ладыженская. - М.: Физматгиз, 1961. - 204 с.
5. Темам, Р. Уравнения Навье - Стокса. Теория и численный анализ / Р. Темам. - М.: Мир, 1981. - 408 с.
6. Баренблатт, Г.И. Об основных представлениях теории фильтрации в трещиноватых средах / Г.И. Баренблатт, Ю.П. Желтов, И.Н. Кочина // Прикладная математика и механика. - 1960. - Т. 24, № 5. - С. 852-864.
7. Chen, P.J. On a Theory of Heat Conduction Involving Two Temperatures / P.J. Chen, M.E. Gurtin // Z. Angew. Math. Phys. - 1968. - V. 19. - P. 614-627.
8. Осколков, А.П. Нелокальные проблемы для одного класса нелинейных операторных уравнений, возникающих в теории уравнений типа С.Л. Соболева / Осколков А.П. // Зап. науч. сем. ЛОМИ. - 1991. - Т. 198. - С. 31-48.
9. Poincare, H. Sur l'equilibre d'une mass fluide animee d'un mouvement de rotation / H. Poincar$acute{e}$ // Acta Math. - 1885. - V. 7. - P. 259-380.
10. Соболев, С.Л. Об одной новой задаче математической физики / С.Л. Соболев // Изв. АН СССР, серия 'Математика'. - 1954. - Т. 18, вып. 1. - С. 3-50.
11. Demidenko, G.V. Partial Differential Equations and Systems not Solvable with Respect to the Highest Order Derivative / G.V. Demidenko, S.V. Uspenskii. - N.Y.; Basel; Hong Kong: Marcel Dekker, Inc., 2003. - 632 p.
12. Showalter, R.E. Hilbert Space Methods for Partial Differential Equations / R.E. Showalter. - Pitman; London; San Francisco; Melbourne, 1977.
13. Favini A. Degenerate Differential Equations in Banach Spaces / A. Favini, A. Yagi. - N.Y.; Basel; Hong Kong: Marcel Dekker, Inc., 1999. - 336 p.
14. Lyapunov-Shmidt Methods in Nonlinear Analysis and Applications / N. Sidorov, B. Loginov, A. Sinithyn, M. Falaleev. - Dordrecht; Boston; London: Kluwer Academic Publishers, 2002. - 548 p.
15. Al'shin, A.B. Blow-up in Nonlinear Sobolev Type Equations / A.B. Al'shin, M.O. Korpusov, A.G. Sveshnikov. - Series in nonlinear analisys and applications, 15, De Gruyter, 2011.
16. Кожанов, А.И. Краевые задачи для уравнений математической физики нечетного порядка / А.И. Кожанов. - Новосибирск: НГУ, 1990. - 130 с.
17. Pyatkov, S.G. Operator Theory. Nonclassical Problems / S.G. Pyatkov. - Utrecht; Boston; K'oln; Tokyo: VSP, 2002. - 348 p.
18. Свиридюк, Г.А. Фазовые пространства одного класса линейных уравнений соболевского типа высокого порядка / Г.А. Свиридюк, А.А. Замышляева // Дифференциальные уравнения. - 2006. - Т. 42, № 2. - С. 252-260.
19. Замышляева, А.А. Фазовые пространства одного класса линейных уравнений соболевского типа второго порядка / А.А. Замышляева // Вычислительные технологии. - 2003. - Т. 8, № 4. - C. 45-54.
20. Замышляева, А.А. Фазовое пространство уравнения соболевского типа высокого порядка / А.А. Замышляева // Известия Иркутского государственного университета. Серия: Математика. - 2011. - Т. 4, № 4. - С. 45-57.
21. Габов, С.А. Новые задачи математической теории волн / С.А. Габов. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 1998. - 448 с.
22. Benney, D.J. Interactions of Permanent Waves of Finite Amplitude / D.J. Benney, J.C. Luke // J. Math. Phys. - 1964. - № 43. - P. 309-313.
23. Ляв, А. Математическая теория упругости /А. Ляв; пер. с англ. Б.В. Булгаков, В.Я. Натанзон. - М.; Л.: ОНТИ, 1935. - 674 с.
24. Свиридюк, Г.А. Задача Шоуолтера - Сидорова как феномен уравнений соболевского типа / Г.А. Свиридюк, С.А. Загребина // Известия Иркутского государственного университета. Серия: Математика. - 2010. - Т. 3, № 1. - С. 104-125.
25. Загребина, С.А. Начально-конечная задача для уравнений соболевского типа с сильно $(L,p)$-радиальным оператором / С.А. Загребина // Математические заметки ЯГУ. - 2012. - Т. 19, № 2. - С. 39-48.
26. Свиридюк, Г.А. Уравнения Баренблатта - Желтова - Кочиной на графе / Г.А. Свиридюк, В.В. Шеметова // Вестник МаГУ. Серия: Математика. - Магнитогорск, 2003. - Вып. 4. - С. 129-139.
27. Свиридюк, Г.А. Об одной модели динамики слабосжимаемой вязкоупругой жидкости / Г.А. Свиридюк // Известия вузов. Математика. - 1994. - № 1. - C. 62-70.
28. Свиридюк, Г. А. Фазовое пространство задачи Коши - Дирихле для одного неклассического уравнения / Г.А. Свиридюк, А.В. Анкудинов // Дифференциальные уравнения. - 2003. - Т. 39, № 11. - С. 1556-1561.
29. Замышляева, А.А. Линейные уравнения соболевского типа высокого порядка: моногр. / А.А. Замышляева. - Челябинск: Изд. центр ЮУрГУ, 2012. - 107 с.
30. Сагадеева, М.А. Дихотомии решений линейных уравнений соболевского типа: моногр. / М.А. Сагадеева. - Челябинск: Изд. центр ЮУрГУ, 2012. - 107 с.
31. Замышляева, А.А. Оптимальное управление решениями задачи Шоуолтера - Сидорова - Дирихле для уравнения Буссинеска - Лява / А.А. Замышляева, О.Н. Цыпленкова // Дифференциальные уравнения. - 2013. - Т. 49. - № 11. - С. 1390-1398.
32. Манакова, Н.А. Задачи оптимального управления для уравнений соболевского типа: моногр. / Н.А. Манакова. - Челябинск: Изд. центр ЮУрГУ, 2012. - 88 с.
33. Келлер, А.В. Задача оптимального измерения: численное решение, алгоритм программы / Келлер А.В., Назарова Е.И. // Известия Иркутского государственного университета. Серия: Математика. - 2011. - № 3. - С. 74-82.
34. Свиридюк, Г.А. Численное решение систем уравнений леонтьевского типа / Г.А. Свиридюк, С.В. Брычев // Известия вузов. Математика. - 2003. - № 8. - С. 46-52.
35. Свиридюк, Г.А. Алгоритм решения задачи Коши для вырожденных линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами / Г.А. Свиридюк, И.В. Бурлачко // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2003. - Т. 43, № 11. - С. 1677-1683.
36. Шестаков, А.Л. Динамические измерения как задача оптимального управления // А.Л. Шестаков, Г.А. Свиридюк, Е.В. Захарова / Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2009. - Т. 16, № 4. - С. 732.
37. Шестаков, А.Л. Численное решение задачи оптимального измерения / А.Л. Шестаков, А.В. Келлер, Е.И. Назарова // Автоматика и телемеханика. - 2012. - № 1. - C. 107-115.
38. Замышляева, А.А. О численном исследовании математической модели распространения волн на мелкой воде / А.А. Замышляева, Е.В. Бычков // Математические заметки ЯГУ. - 2013. - Т. 20, № 1. - С. 27-34.
39. Замышляева, А.А. Об алгоритме численного моделирования волн Буссинеска - Лява / А.А. Замышляева // Вестник ЮУрГУ. Серия: Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника. - 2013. - Т. 13, № 4. - С. 24-29.
40. Замышляева, А.А. Аналитическое исследование математической модели Буссинеска - Лява с аддитивным белым шумом / А.А. Замышляева // Глобальный научный потенциал (Раздел математические методы и модели). - 2013. - № 7 (28). - С. 44-50.
41. Замышляева, А.А. Стохастическая математическая модель ионно-звуковых волн в плазме / А.А. Замышляева // Естественные и технические науки (Раздел математическое моделирование, численные методы и комплексы программ). - 2013. - № 4. - C. 284-292.
42. Замышляева, А.А. Уравнение de Gennes звуковых волн в смектиках / А.А. Замышляева // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2009. - Т. 16, вып. 4. - С. 655-656.
43. Замышляева, А.А. Об аналитическом исследовании линеаризованной математической модели Бенни - Люка / А.А. Замышляева // Математические заметки ЯГУ. - 2013. - Т. 20, № 2. - С. 57-65.
44. Замышляева, А.А. Начально-конечная задача для уравнения Буссинеска - Лява на графе / А.А. Замышляева, А.В. Юзеева // Известия Иркутского государственного университета. Серия: Математика. - 2010. - Т. 3, № 2. - С. 18-29.
45. Федоров, В.Е. О некоторых соотношениях в теории вырожденных полугрупп операторов // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2008. - № 15 (115), вып. 1. - С. 89-99.