Об одной полулинейной математической модели соболевского типа высокого порядка

В статье исследуется полулинейная математическая модель соболевского типа высокого порядка с относительно спектрально ограниченным оператором. Данная математическая модель строится на основе уравнения соболевского типа высокого порядка и условий Коши. В работе используются метод фазового пространства и теория относительно p-ограниченных операторов, разработанные Г.А. Свиридюком. При исследовании невырожденной математической модели используется подход, предложенный С. Ленгом; в статье он обобщается на дифференциальные уравнения высокого порядка. В работе рассмотрено два случая. В первом, когда оператор при старшей производной по времени является непрерывно обратимым, используются методы теории дифференцируемых банаховых многообразий и доказывается однозначная разрешимость задачи Коши. Во втором случае, когда оператор при старшей производной по времени имеет нетривиальное ядро. Как известно, задача Коши для уравнений соболевского типа принципиально не разрешима при произвольных начальных данных. В связи с этим возникает задача построения фазового пространства уравнения как множества допустимых начальных значений, содержащего решения уравнения, и изучения его морфологии. В данной работе для вырожденного уравнения строится локальное фазовое пространство.

Ключевые слова

фазовое пространство; уравнение соболевского типа; относительно спектрально ограниченный оператор; банахово многообразие; касательное расслоение.

Литература

1. Замышляева, А.А. Фазовое пространство полулинейного уравнения Буссинеска / А.А. Замышляева, Е.В. Бычков// Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2012. - № 18 (277), вып. 12. - С. 13-19.
2. Свиридюк, Г.А. Фазовые пространства одного класса операторных полулинейных уравнений типа Соболева / Г.А. Свиридюк, Т.Г. Сукачева// Дифференциальные уравнения. - 1990. - Т. 26, № 2. - С. 250-258.
3. Свиридюк, Г.А. Фазовые пространства одного класса линейных уравнений соболевского типа высокого порядка / Г.А. Свиридюк, А.А. Замышляева// Дифференциальные уравнения. - 2006.- Т. 42, № 2. - С. 252-260.
4. Сагадеева, М.А. Существование и устойчивость решений полулинейных уравнений соболевского типа в относительно радиальном случае / М.А. Сагадеева// Известия Иркутского государственного университета. Серия: Математика. - 2013. - № 1. - C. 78-88.
5. Манакова, Н.А. Об одной задаче оптимального управления с функционалом общего вида / Н.А. Манакова, А.Г. Дыльков// Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки. - 2011. - № 4(25). - С. 18-24.
6. Ленг, С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / C. Ленг.- М.: Мир, 1967. - 203 с.
7. Ниренберг, Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу / Л. Ниренберг.- М.: Мир, 1980. -232 с.