A Multipoint Initial-Final Value Problem for a Linear Model of Plane-Parallel Thermal Convection in Viscoelastic Incompressible Fluid

Линейная модель плоскопараллельной термоконвекции вязкоупругой несжимаемой среды Кельвина - Фойгта представляет собой гибрид системы уравнений Осколкова и уравнения теплопроводности в приближении Обербека - Буссинеска, заданных в двумерной области с условиями Бенара. Целью нашего исследования является разрешимость этой модели с так называемыми многоточечными начально-конечными условиями. Такие условия используются для восстановления параметров изучаемых процессов по результатам многочисленных наблюдений с различных точек и в различные моменты времени, что позволяет, например, прогнозировать аварийные ситуации, в том числе нарушение непрерывности процесса термоконвекции в результате нарушения технологии и т.п.
Ранее для моделей термоконвекции изучалась разрешимость задач Коши и начально-конечной, кроме того, была рассмотрена устойчивость решений задачи Коши. Многоточечная начально-конечная задача для этой модели изучается впервые. Кроме того, в данной работе приводится доказательство обобщенной теоремы о расщеплении в случае относительно секториального оператора. Основной результат статьи - теорема об однозначной разрешимости многоточечной начально-конечной задачи для линейной модели плоскопараллельной термоконвекции вязкоупругой несжимаемой жидкости.

Ключевые слова

многоточечная начально-конечная задача; уравнение соболевского типа; обобщенная теорема о расщеплении; линейная модель плоскопараллельной термоконвекции вязкоупругой несжимаемой жидкости.

Литература

1. Дудко, Л.Л. Исследование полугрупп операторов с ядрами: дис. ... канд. физ.-мат. наук / Л.Л. Дудко. - Новгород, 1996.
2. Загребина, С.А. О задаче Шоуолтера - Сидорова / С.А. Загребина // Известия вузов. Математика. - 2007. - № 3. - С. 22-28.
3. Загребина, С.А. Задача Шоуолтера - Сидорова - Веригина для линейных уравнений соболевского типа // Неклассические уравнения математической физики: тр. междунар. конф. 'Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения', посвящ. 100-летию со дня рождения акад. И. Н. Векуа / отв. ред. А. И. Кожанов; Рос. Акад. наук, Сиб. отд., ин-т математики им. С.Л. Соболева. - Новосибирск, 2007. - С. 150-157.
4. Загребина, С.А. Существование и устойчивость решений одного класса полулинейных уравнений соболевского типа / С.А. Загребина, М.М. Якупов // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - Челябинск, 2008. - № 27 (127), вып. 2. - С. 10-18.
5. Загребина, С.А. Многоточечная начально-конечная задача для стохастической модели Баренблатта - Желтова - Кочиной / С.А. Загребина // Вестник ЮУрГУ. Серия: Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника. - Челябинск, 2013. - Т. 13, № 4. - С. 103-111.
6. Замышляева, А.А. Оптимальное управление решениями начально-конечной задачи для уравнения Буссинеска - Лява / А.А. Замышляева, О.Н. Цыпленкова // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - Челябинск, 2012. - № 5 (264), вып. 11. - C. 13-24.
7. Келлер А.В. Алгоритм решения задачи Шоуолтера - Сидорова для моделей леонтьевского типа / А.В. Келлер // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - Челябинск, 2012. - № 4 (241), вып. 7. - С. 40-46.
8. Landau L.D. Fluid Mechanics / L.D. Landau, E.M. Lifshitz. - Oxford: Pergamon Press, 1959.
9. Манакова, Н.А. Оптимальное управление решениями начально-конечной задачи для линейной модели Хоффа / Н.А. Манакова, А.Г. Дыльков // Математические заметки. - 2013. - Т. 94, № 2. - С. 225-236.
10. Матвеева О.П. Математические модели вязкоупругих несжимаемых жидкостей ненулевого порядка: монография / О.П.Матвеева, Т.Г. Сукачева. - Челябинск: Изд. центр ЮУрГУ, 2014.
11. Осколков, А.П. Нелокальные проблемы для одного класса нелинейных операторных уравнений, возникающих в теории уравнений типа С.Л. Соболева / А.П. Осколков // Записки научных семинаров ЛОМИ. - 1991. - Т. 198. - С. 31-48.
12. Панков, А.А. Нелинейные эволюционные уравнения с необратимым операторным коэффициентом при производной / А. А. Панков, Т.Е. Панкова // Доклады Академии наук Украины. - 1993. - № 9. - С. 18-20.
13. Свиридюк, Г.А. Разрешимость задачи термоконвекции вязкоупругой несжимаемой жидкости / Г.А. Свиридюк // Известия вузов. Математика. - 1990. - № 12. - С. 65-70.
14. Свиридюк, Г.А. Полулинейные уравнения типа Соболева с относительно секториальным оператором / Г.А. Свиридюк // Доклады Академии наук СССР. - 1993. - Т. 329, № 3. - С. 274-277.
15. Свиридюк, Г.А. Фазовые пространства полулинейных уравнений типа Соболева с относительно сильно секториальным оператором // Алгебра и анализ. - 1994. - Т. 6, № 5. - С. 252-272.
16. Свиридюк, Г.А. Число Деборы и один класс полулинейных уравнений типа Соболева / Г.А. Свиридюк, Т.А. Бокарева // Доклады Академии наук СССР. - 1991. - Т. 319, № 5. - С. 1082-1086.
17. Свиридюк, Г.А. Оптимальное управление линейными уравнениями типа Соболева с относительно p-секториальными операторами / Г.А. Свиридюк, А.А. Ефремов // Дифференциальные уравнения. - 1995.- Т. 31, № 11.- С. 1912-1919.
18. Свиридюк, Г.А. О задаче Веригина для обобщенного фильтрационного уравнения Буссинеска / Г.А. Свиридюк, С.А. Загребина // Известия вузов. Математика. - 2003. - № 7. - С. 54-58.
19. Свиридюк, Г.А. Задача Веригина для линейных уравнений соболевского типа с относительно p-секториальными операторами / Г.А. Свиридюк, С.А. Загребина // Дифференциальные уравнения. - 2002. - Т. 38, № 12. - С. 1646-1652.
20. Свиридюк, Г.А. Задача Шоуолтера - Сидорова как феномен уравнений соболевского типа / Г.А. Свиридюк, С.А. Загребина // Известия Иркутского государственного университетата. Серия: Математика. - 2010. - Т. 3, № 1. - С. 104-125.
21. Свиридюк, Г.А. Инвариантные пространства и дихотомии решений одного класса линейных уравнений типа Соболева / Г.А. Свиридюк, А.В. Келлер // Известия вузов. Математика. - 1997. - № 5. - С. 60-68.
22. Свиридюк, Г.А. Об относительно сильной p-секториальности линейных операторов / Г.А. Свиридюк, Г.А. Кузнецов // Доклады Академии наук. - 1999. - Т. 365, № 6. - С. 736-738.
23. Свиридюк, Г.А. Некоторые математические задачи динамики вязкоупругих несжимаемых сред / Г.А. Свиридюк, Т.Г. Сукачева // Вестник Магнитогорского государственного университета. Серия: Математика. - Магнитогорск, 2005. - Вып. 8. - С. 5-33.
24. Свиридюк, Г.А. Аналитические полугруппы с ядрами и линейные уравнения типа Соболева / Г.А. Свиридюк, В.Е. Федоров // Сибирский математический журнал. - 1995. - Т. 36, № 5. - С. 252-272.
25. Свиридюк, Г.А. О единицах аналитических полугрупп операторов с ядрами / Г.А. Свиридюк, В.Е. Федоров // Сибирский математический журнал. - 1998. - Т. 39, № 3. - С. 604-612.
26. Свиридюк, Г.А. Фазовое пространство начально-краевой задачи для системы Осколкова / Г.А. Свиридюк, М.М. Якупов // Дифференциальные уравнения. - 1996. - Т. 32, № 11. - С. 1538-1543.
27. Сукачева, Т.Г. Задача термоконвекции несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина - Фойгта ненулевого порядка / Т.Г. Сукачева, О.П. Матвеева // Известия вузов. Математика. - 2001. - № 11. - С. 46-53.
28. Henry, D. Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations / D. Henry. - Berlin; Heidelberg; N.-Y.: Springer Verlag, 1981.
29. Шестаков, А.Л. Численное решение задачи оптимального измерения / А.Л. Шестаков, А.В. Келлер, Е.И. Назарова // Автоматика и телемеханика. - 2011. - № 12. - С. 56-68.
30. Al'shin, A.B. Blow-up in Nonlinear Sobolev Type Equations / A.B. Al'shin, M.O. Korpusov, A.G. Sveshnikov. - Berlin: Walter de Gruyter GmbH& Co.KG, 2011.
31. Demidenko, G.V. Partial Differential Equations and Systems not Solvable with Respect to the Highest-order Derivative / G.V. Demidenko, S.V. Uspenskii. - N.-Y.; Basel; Hong Kong: Marcel Dekker, Inc., 2003.
32. Pyatkov, S.G. Operator Theory. Nonclassical Problems / S.G. Pyatkov. - Utrecht; Boston; Koln; Tokyo: VSP, 2002.
33. Showalter, R.E. The Sobolev Type Equations. I (II) / R.E. Showalter // Appl. Anal. - 1975. - V. 5, № 1. - P. 15-22 (№ 2. - P. 81-89).
34. Zagrebina S.A. The Generalized Splitting Theorem for Linear Sobolev type Equations in Relatively Radial Case / S.A. Zagrebina, M.A. Sagadeeva // Известия Иркутского государственного университета. Серия: Математика. - 2014. - Т. 7. - С. 19-33.