Форма ключевой функции в задаче о моделировании ветвлений периодических экстремалей с резонансом 1:1:1

В статье изложена допускающая алгоритмизацию методика приближенного вычисления нормализованных ключевых функций в задаче о ветвлении периодических экстремалей гладкого функционала действия вблизи его точки минимума. Периодические экстремали такого функционала служат прототипами периодических колебаний динамических систем, сегнетоэлектрических фаз кристаллов, нелинейных периодических волн и т.д. Изучение бифуркации циклов динамических систем посредством ключевых уравнений и ключевых функций было недавно проведено в работах А.П. Карповой, Н.А. Копытина, Е.В. Деруновой и Ю.И. Сапронова в случаях двойных резонансов $p_1:p_2:p_3$, $p_1<p_2<p_3$. В настоящей статье рассмотрен мало изученный случай $p_1=p_2=p_3 = 1$. Предложенная в статье исследовательская схема опирается на вариационную версию метода Ляпунова - Шмидта, в соответствии с которой численное и качественное описание бифуркаций циклов сводится к анализу ветвления критических точек так называемой ключевой функции. В качестве демонстрационной модели рассмотрен функционал действия, соответстваующий обыкновенному дифференциальному уравнению шестого порядка. Приведены примеры раскладов ветвей критических точек и описан подход к классификации таких раскладов, основанный на разбиении бифурцирующих ветвей на подмножества с одинаковыми индексами Морса и на описании взаимных примыканий бифурцирующих критических точек.

Ключевые слова

гладкий функционал; экстремаль; круговая симметрия; резонанс; моделирование ветвления; метод Ляпунова - Шмидта.

Литература

1. Даринский, Б.М. Бифуркации экстремалей фредгольмовых функционалов / Б.М. Даринский, Ю.И. Сапронов, С.Л. Царев // Современная математика. Фундаментальные направления. - 2004. - Т. 12. - С. 3-140.
2. Ключевые уравнения в динамических системах с 2-кратными резонансами / А.П. Карпова, Н.А. Копытин, Ю.И. Сапронов // Математические модели и операторные уравнения. - 2009. - Т. 6. - С. 51-58.
3. Дерунова, Е.В. Трехмодовые бифуркации экстремалей из точки минимума фредгольмова функционала в условиях круговой симметрии / Е.В. Дерунова, Ю.И. Сапронов // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. - 2014. - № 1. - С. 64-77.
4. Даринский, Б.М. Ветвление фаз кристалла, определяемых термодинамическим потенциалом шестого порядка / Б.М. Даринский, И.В. Колесникова, Ю.И. Сапронов // Системы управления и информационные технологии. - 2009. - № 1 (35). - С. 72-76.
5. Зачепа, А.В. О бифуркации экстремалей фредгольмова функционала из вырожденной точки минимума с особенностью 3-мерной сборки / А.В. Зачепа, Ю.И. Сапронов // Труды математического факультета ВГУ. - 2005. - Вып. 9. - С. 57-71.
6. Стрыгин, В.В. Бифуркация малых синхронных автоколебаний двух динамических систем с близкими частотами / В.В. Стрыгин, Г.Ю. Северин // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Системный анализ и информационные технологии. - 2006. - № 2. - С. 36-45.
7. Арнольд, В.И. Особенности дифференцируемых отображений / В.И. Арнольд, А.Н. Варченко, С.М. Гусейн-Заде. - М.: МЦНМО, 2004. - 672 с.
8. Siersma, D. Singularities of Functions on Boundaries, Corners, etc. / D. Siersma // Quart. J. Oxford Ser. - 1981. - V. 32, № 125. - P. 119-127.
9. Гнездилов, А.В. Бифуркации критических торов для функционалов с 3-круговой симметрией / А.В. Гнездилов // Функциональный анализ. - 2000. - Т. 34, вып. 1. - С. 83-86.
10. Введение в топологию / Ю.Г. Борисович, Н.М. Близняков, Я.А. Израилевич, Т.Н. Фоменко. - М.: Наука, 1995. - 416 с.