О корректной разрешимости задачи Коши для обобщенного телеграфного уравнения

В работе устанавливается равномерно корректная разрешимость задачи Коши для обобщенного телеграфного уравнения с переменными коэффициентами, частным случаем которого является классическое телеграфное уравнение. Установление корректной разрешимости математических задач является одним из основных условий при их численной реализации. Как известно, для классического телеграфного уравнения решение задачи Коши находится в классе дважды непрервно дифференцируемой функции и с помощью метода Римана выписывается в явном виде. Однако, при этом вопрос устойчивости решения в зависимости от начальных данных, требующий использования соответствующих метрических пространств в этих работах не обсуждается. Между тем этот вопрос является наиболее важным при корректной численной реализации решения задачи, когда его существование и единственность доказаны. В настоящей заметке методами теории полугрупп линейных преобразований, устанавливается равномерно корректная разрешимость задачи Коши в пространствах функций интегрируемых с экспоненциальным весом для некоторого класса дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Получено точное решение задачи Коши и указаны условия на коэффициенты, при которых задача раномерно корректна в некоторых функциональных пространствах. Следствием из этих результатов является равномерная корректность задачи Коши для классического телеграфного уравнения с постоянными коэффициентами.

Ключевые слова

телеграфное уравнение; корректная разрешимость; полугруппы; косинус-функция; задача Коши; дробные степени операторов.

Литература

1. Крейн, С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / С.Г. Крейн. - М.: Наука, Глав. ред. физ-мат. лит-ры, 1967. - 464 с.
2. Свиридюк, Г. А. Задача Коши для линейного операторного уравнения типа Соболева с неположительным оператором при производной / Г.А. Свиридюк // Дифференциальные уравнения. - 1987. - Т. 23. - № 10. - С. 1823-1825.
3. Кошляков, Н.С. Основные дифференциальные уравнения математической физики / Н.С. Кошляков, Э.Б. Глинер, М.М. Смирнов. - М.: Физ-мат. лит., 1962. - 767 с.
4. Голдстейн, Дж. Полугруппы линейных операторов и их приложения / Дж. Голдстейн. - Киев: Выща школа, 1989. - 347 с.
5. Иосида, К. Функциональный анализ: учебник / К. Иосида; пер. с англ. В.М. Волосова. - М.: Мир, 1967. - 624 с.
6. Костин, В.А. Операторный метод Маслова-Хевисайда и C_0-операторный интеграл Дюамеля / В.А. Костин, А.В. Костин, Д.В. Костин // ДАН. - 2013. - Т. 452, № 4. - С. 367-370.
7. Костин, В.А. Элементарны полугруппы преобразований и их производящие уравнения / В.А. Костин, А.В. Костин, Д.В. Костин // ДАН. - 2014. - Т. 455, № 2. - С. 142-146.
8. Костин, В.А. О корректной разрешимости краевых задач для уравнений второго порядка / В.А. Костин, М.Н. Небольсина // ДАН. - 2009. - Т. 428, № 1. - C. 20-23.
9. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций / М.А. Красносельский, П.П. Забрейко, Е.И. Пустыльник, П.Е. Соболевский. - М.: Наука, 1966. - 500 с.
10. Самко, С.Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / С.Г. Самко, А.А. Килбас, О.И. Маричев. - Минск: Наука и техника, 1987. - 687 с.