Бифуркационный анализ задачи капиллярности с круговой симметрией

В нелинейной постановке достаточно хорошо изучены равновесные устойчивые и неустойчивые формы малых капель в поле силы тяжести. Эти формы являются решениями известного уравнения капиллярности и находятся итерационными методами в виде рядов. Если размер капли достаточно большой, или изнутри на нее воздействует потенциал, то нарушается сходимость приближенных решений. При этом полученные решения начинают противоречить физическим экспериментам. Разрешимость капиллярного уравнения доказана Н.Н. Уральцевой.
При воздействии потенциала происходят перестройки поверхности. Описание особых состояний поверхности с помощью уравнения капиллярности осложнено структурой этого и соответствующего линеаризованного уравнений. С другой стороны, задача капиллярности вариационная. Основным слагаемым энергетического функционала является функционал площади, который исследовался в работах А.Т. Фоменко, А.Ю. Борисовича, Л.В. Стенюхина в связи с задачей о минимальных поверхностях. Исследованию экстремалей подобных нелинейных функционалов в банаховых и гильбертовых пространствах посвящены работы Ю.И. Сапронова, Б.М. Даринского, С.Л. Царева, Г.А. Свиридюка и других математиков. В результате, в настоящей работе получены достаточные условия существования особых решений задачи капиллярности при воздействии внешнего потенциала в терминах вариационности задачи и нормального расслоения возмущений. Приведен пример, в котором построена новая редукция капиллярного уравнения вблизи центра симметрии капли. Найдены критические значения параметра, зависящего от числа Бонда, установлена аналитическая форма решения.

Ключевые слова

задача капиллярности; число Бонда; бифуркация; особое решение.

Литература

1. Wente, H.C. The Symmetry of Sessile and Pendent Drops / H.C. Wente // Pasific Journal of Mathematics. - 1980. - V. 88, № 2. - P. 387-397.
2. Финн, Р. Равновесные капиллярные поверхности. Математическая теория / Р. Финн; под. ред. А.Т. Фоменко. - М.: Мир, 1989. - 310 с.
3. Сапронов, Ю.И. Моделирование диффузорных течений жидкости посредством редуцированных уравнений / Ю.И. Сапронов // Вестник ЮУрГУ. Серия 'Математическое моделирование и программирование'. - 2012. - № 27 (286), вып. 12. - С. 82-93.
4. Даринский, Б.М. Бифуркации экстремалей фредгольмовых функционалов/ Б.М. Даринский, Ю.И. Сапронов, С.Л. Царев // Современная математика. Фундаментальные направления. - 2004. - Т. 12. - С. 3-140.
5. Свиридюк, Г.А. Квазистационарные траектории полулинейных динамических уравнений типа Соболева / Г.А. Свиридюк // Известия АН СССР. Серия математическая. - 1993. - Т. 57, № 3. - С. 192-207.
6. Ниренберг, Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу / Л. Ниренберг. - М.: Мир, 1977. - 232 с. - (Серия: Математика. Новое в зарубежной науке, № 5).
7. Стенюхин, Л.В. Об особых решениях задачи капиллярности с круговой симметрией / Л.В. Стенюхин // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. - 2013. - № 2. - С. 242-245.
8. Стенюхин, Л.В. О минимальных поверхностях с ограничениями типа неравенств / Л.В. Стенюхин // Известия вузов. Математика. - 2012. - № 11. - С. 51-59.
9. Борисович, А.Ю. Оператор Плато и бифуркации двумерных минимальных поверхностей / А.Ю. Борисович // Глобальный анализ и математическая физика. - Воронеж, 1987. - С. 142-155.