Методы типа Адамса для решения вырожденных интегро-дифференциальных уравнений

В статье рассмотрены линейные интегро-дифференциальные системы уравнений первого порядка с тождественно вырожденной матрицей перед производной. Для данных систем задано начальное условие, которое предполагается согласованным с правой частью. Рассматриваемые в статье постановки задач возникают при математическом моделировании сложных электрических цепей. Используя аппарат матричных полиномов, выделен класс задач, имеющих единственное решение. Обсуждаются трудности численного решения таких задач, в частности неустойчивость многих неявных методов. Для численного решения такого класса задач предложены многошаговые методы, которые основаны на явной квадратурной формуле Адамса для интегрального слагаемого и на экстраполяционных формулах. Сформулированы достаточные условия сходимости таких алгоритмов к точному решению.
Приведены результаты численных расчетов, которые хорошо согласуются с теоретическими выкладками.

Ключевые слова

многошаговые методы; интегро-дифференциальные уравнения; матричные полиномы.

Литература

1. Ушаков, Е.И. Статическая устойчивость электрических систем / Е.И. Ушаков. - Новосибирск: Наука. сиб. отд-ние, 1988.
2. Сенди, К. Современные методы анализа электрических цепей / К. Сенди. - М.: Энергия, 1971. - 360 с.
3. Булатов, М.В., Об одном семействе вырожденных интегро-дифференциальных уравнений / М.В. Булатов, Е.В. Чистякова // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2011. - Т. 51, № 9. - С. 1665-1673.
4. Булатов, М.В. Численное решение интегро-алгебраических уравнений многошаговыми методами / М.В. Булатов, О.С. Будникова // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2012. - Т. 52, № 5. - С. 829-839.
5. Бахвалов, Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов. - М.: Наука, 1975.
6. Тен Мен Ян Приближенное решение линейных интегральных уравнений Вольтерра I рода: дис.... канд. физ. мат. наук / Тен Мен Ян. - Иркутск, 1985.
7. Brunner, H. The Numerical Solution of Volterra Equations / H. Brunner, P.J. van der Houwen. - Amsterdam: North-Holland, CWI Monographs 3, 1986.
8. Linz, P. Analytical and Numerical Methods for Volterra Equations / P. Linz. - SIAM, Philadelphia, 1985.
9. Булатов, М.В. Об интегродифференциальных системах с вырожденной матрицей перед производной / М.В. Булатов. - Дифференциальные уравнения. - 2002. - Т. 38, № 5. - С. 692-695.
10. Булатов, М.В. Численное решение интегро-дифференциальных систем с вырожденной матрицей перед производной многошаговыми методами / М.В. Булатов, Е.В. Чистякова // Дифференциальные уравнения. - 2006. - Т. 42, № 9. - С. 1248-1255.
11. Булатов, М.В. Применение матричных полиномов к исследованию линейных дифференциально алгебраических уравнений высокого порядка / М.В. Булатов, Ли М.Г. // Дифференциальные уравнения. - 2008. - Т. 44, № 10. - С. 1299–-1305. eginflushright endflushright