Introducing a Power of the Operator in Direct Spectral Problems

Резольвентный метод, предложенный еще в 90-х гг В.А. Садовничим и В.В. Дубровским, с успехом применим как в прямых спектральных задачах при вычислении асимптотики собственных чисел возмущенного оператора или формул регуляризованных следов, так и в обратных - при восстановлении потенциала. Однако, применение этого метода вызывает затруднения в тех случаях, когда резольвента невозмущенного оператора оказывается неядерной. Поэтому ряд физических задач, как известно, приходится рассматривать только на интервале. В данной работе приведено обоснование перехода к степени оператора для расширения области применения резольвентного метода. Рассмотрен вопрос о вычислении регуляризованного следа оператора Лапласа на параллелепипеде произвольной размерности. Показано, что для любой фиксированной размерности возможно подобрать нужную степень оператора и вычислить регуляризованный след. Актуальность этих исследований обусловлена необходимостью изучения важных прикладных задач, в частности, в области гидродинамики, радиоэлектроники, теории упругости, квантовой механики и других.

Ключевые слова

регуляризованный след; оператор Лапласа.

Литература

1. Захаров, В.Е. Уравнение Кортевега-де Фриза - вполне интегрируемая гамильтонова система / В.Е. Захаров, Л.Д. Фаддеев //Функциональный анализ и его приложения. - 1971. - Т. 5, вып. 8. - С. 18-27.
2. Лифшиц, И.М. Об одной задаче теории возмущений, связанной с квантовой статистикой / И.М. Лифшиц // Успехи математических наук. - 1952. - Т. 7, вып. 1. - С. 171-180.
3. Гельфанд, И.М. Об одном тождестве для собственных значений дифференциального оператора второго порядка / И.М. Гельфанд, Б.М. Левитан // ДАН СССР. - 1991. - Т. 84, № 4. - С. 593-596.
4. Гасымов, М.Г. Определение дифференциального оператора по двум спектрам / М.Г. Гасымов, Б.М. Левитан // Успехи математических наук. - 1964. - Т.19, № 2. - С. 3-63.
5. Торшина, О.А. Формула первого регуляризованного следа оператора Лапласа-Бельтрами с негладким потенциалом на проективной плоскости / О.А. Торшина // Дифференциальные уравнения и их приложения. - Самара, 2006. - С. 32-40.
6. Закирова, Г.А. Асимптотика собственных чисел степени оператора Чебышева I рода со сложным вхождением параметра / Г.А. Закирова, А.И. Седов // Вестник МаГУ. - 2004. - Вып. 6. - С. 65-73.
7. Cедов, А.И. О существовании решения обратной задачи спектрального анализа для самосопряженного оператора в гильбертовом пространстве / А.И. Cедов // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2010. - Т. 17, вып. 3. - С. 454-455.
8. Дубровский, В.В. Устойчивость решения обратных задач / В.В. Дубровский, А.В. Нагорный // Дифференциальные уравнения. - 1992. - Т. 28, № 5. - С. 839-843.
9. Закирова, Г.А. Обратные спектральные задачи для оператора Лапласа с кратным спектром. Приближенное восстановление потенциала / Г.А. Закирова. - Saarbrucken: LAPLAMBERT Academic Publishing, 2011.
10. Титчмарш, Э.Ч. Разложение по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка / Э.Ч. Титчмарш. - М.: Изд-во иностр. лит., 1961.