Об одном классе уравнений соболевского типа

Статья содержит обзор работ Т.Г. Сукачевой и ее учеников в области исследования моделей несжимаемых вязкоупругих жидкостей Кельвина - Фойгта в рамках теории полулинейных уравнений соболевского типа. Основное внимание уделяется нестационарному случаю ввиду его большей общности. Идея исследования демонстрируется на примере нестационарной задачи термоконвекции для модели Осколкова нулевого порядка. Вначале изучается абстрактная задача Коши для полулинейного неавтономного уравнения соболевского типа, а затем соответствующая начально-краевая задача рассматривается как конкретная интерпретация этой задачи. Доказана теорема существования единственного решения указанной задачи, являющегося квазистационарной полутраекторией, и получено описание ее расширенного фазового пространства. Подобным образом могут быть исследованы и другие задачи гидродинамики, например, линеаризованные модели Осколкова, задача Тейлора, а также некоторые модели, описывающие движение несжимаемых вязкоупругих жидкостей Кельвина - Фойгта в магнитном поле Земли.

Ключевые слова

уравнения соболевского типа; несжимаемая вязкоупругая жидкости; относительно p-секториальные операторы; расширенное фазовое пространство.

Литература

1. Осколков, А.П. Начально-краевые задачи для уравнений движения жидкостей Кельвина-Фойгта и жидкостей Олдройта / А.П. Осколков // Труды математического института АН СССР. - 1988. - № 179. - С. 126-164.
2. Осколков, А.П. Нелокальные проблемы для одного класса нелинейных операторных уравнений, возникающих в теории уравнений типа С.Л. Соболева / А.П. Осколков // Записки научных семинаров ЛОМИ. - 1991. - Т. 198. - С. 31-48.
3. Осколков, А.П. О некоторых нестационарных линейных и квазилинейных системах, встречающихся при изучении движения вязких жидкостей / А.П. Осколков // Записки научных семинаров ЛОМИ АН СССР. - 1976. - Т. 59. - С. 133-177.
4. Осколков, А.П. К теории жидкостей Фойгта / А.П. Осколков // Записки научных семинаров ЛОМИ. - 1980. - Т. 96. - С. 233-236.
5. Свиридюк, Г.А. К общей теории полугрупп операторов / Г.А. Свиридюк // Успехи математических наук. - 1994. - Т. 49, № 4. - С. 47-74.
6. Свиридюк, Г.А. Разрешимость задачи термоконвекции вязкоупругой несжимаемой жидкости / Г.А. Свиридюк // Известия вузов. Математика. - 1990. - № 12. - С. 65-70.
7. Свиридюк, Г.А. Фазовые пространства полулинейных уравнений типа Соболева с относительно сильно секториальным оператором / Г.А. Свиридюк // Алгебра и анализ. - 1994. - Т. 6, № 5. - С. 216-237.
8. Сукачева, Т.Г. О разрешимости нестационарной задачи термоконвекции вязкоупругой несжимаемой жидкости / Т.Г. Сукачева // Дифференциальные уравнения. - 2000. - Т. 36, № 8. - С. 1106-1112.
9. Сукачева, Т.Г. Исследование математических моделей несжимаемых вязкоупругих жидкостей: дис. ... д-ра физ.-мат. наук / Т.Г. Сукачева. - Новгород. гос. ун-т. Великий Новгород, 2004. - 249 с.
10. Sviridyuk, G.A. Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov. - Utrecht; Boston, K'oln: VSP, 2003. - 179 p.
11. Свиридюк, Г.А. Квазистационарные траектории полулинейных динамических уравнений типа Соболева / Г.А. Свиридюк // Известия РАН. Серия математическая. - 1993. - Т. 57, № 3. - С. 192-207.
12. Levine, H.A. Some Nonexistance and Instability Theorems for Solutions of Formally Parabolic Equations of the Form $Du_t=-Au+F(u)$ / H.A. Levine // Archive for Rational Mechanics and Analysis. - 1973. - V. 51, № 5. - P. 371-386.
13. Свиридюк, Г.А. Задача Коши для одного класса полулинейных уравнений типа Соболева / Г.А. Свиридюк, Т.Г. Сукачева // Сибирский математический журнал. - 1990. - Т. 31, № 5. - С. 109-119.
14. Свиридюк, Г.А. Фазовые пространства одного класса операторных уравнений / Г.А. Свиридюк, Т.Г. Сукачева // Дифференциальные уравнения. - 1990. - Т. 26, № 2. - С. 250-258.
15. Свиридюк, Г.А. Некоторые математические задачи динамики вязкоупругих несжимаемых сред / Г.А. Свиридюк, Т.Г. Сукачева // Вестник МаГУ. Математика. - 2005. - Вып. 8. - С. 5-33.
16. Борисович, Ю.Г. Нелинейные фредгольмовы отображения и теория Лере-Шаудера / Ю.Г. Борисович, В.Г. Звягин, Ю.И. Сапронов // Успехи математических наук. - 1977. - Т. 32, № 4. - С. 3-54.
17. Марсден, Дж. Бифуркация рождения цикла и ее приложения / Дж. Марсден, М. Мак-Кракен. - М.: Мир, 1980. - 368 с.
18. Бокарева, Т.А. Исследование фазовых пространств уравнений типа Соболева с относительно секториальными операторами: дис. ... канд. физ.-мат. наук / Т.А. Бокарева. - СПб., 1993. - 107 с.
19. Ладыженская, О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости / О.А. Ладыженская. - Изд. 2-е. - М.: Наука, 1970. - 288 с.
20. Свиридюк, Г.А. Об одной модели слабосжимаемой вязкоупругой жидкости / Г.А. Свиридюк // Известия вузов. Математика. - 1994. - № 1. - С. 62-70.
21. Свиридюк, Г.А. Полулинейные уравнения типа Соболева с относительно ограниченным оператором / Г.А. Свиридюк // ДАН СССР. - 1991. - Т. 318, № 4. - С. 828-831.
22. Свиридюк, Г.А. Полулинейные уравнения типа Соболева с относительно секториальными операторами / Г.А. Свиридюк // Доклады РАН. - 1993. - Т. 329, № 3. - С. 274-277.
23. Свиридюк, Г.А. Аналитические полугруппы с ядрами и линейные уравнения типа Соболева / Г.А. Свиридюк, В.Е. Федоров // Сибирский математический журнал. - 1995. - Т. 36, № 5. - С. 1130-1145.
24. Хенри, Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений / Д. Хенри. - М.: Мир, 1985. - 376 c.
25. Свиридюк, Г.А. О разрешимости нестационарной задачи динамики несжимаемой вязкоупругой жидкости / Г.А. Свиридюк, Т.Г. Сукачева // Математические заметки. - 1998. - Т. 63, № 3. - C. 442-450.
26. Сукачева, Т.Г. Об одной модели несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта ненулевого порядка / Т.Г. Сукачева// Дифференциальные уравнения. - 1997. - Т. 33, № 4. - С. 552-557.
27. Сукачева, Т.Г. О разрешимости нестационарной задачи динамики несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта ненулевого порядка / Т.Г. Сукачева // Известия вузов. Математика. - 1998. - № 3. - С. 47-54.
28. Сукачева, Т.Г. О разрешимости нестационарной задачи термоконвекции вязкоупругой несжимаемой жидкости / Т.Г. Сукачева // Дифференциальные уравнения. - 2000. - Т. 36, № 8. - С. 1106-1112.
29. Сукачева, Т.Г. Задача термоконвекции несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта ненулевого порядка / Т.Г. Сукачева, О.П. Матвеева // Известия вузов. Математика. - 2001. - № 11 (474). - С. 46-53.
30. Сукачева, Т.Г. Квазистационарные полутраектории в нестационарной модели термоконвекции вязкоупругой несжимаемой жидкости высокого порядка / Т.Г. Сукачева, О.П. Матвеева // Неклассические уравнения математической физики: Третий Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-98), посвященный памяти С.Л. Соболева (Новосибирск, 22-27 июня 1998 г.). - Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 1998. - С. 98-105.
31. Сукачева, Т.Г. Нестационарная линеаризованная модель движения несжимаемой вязкоупругой жидкости высокого порядка / Т.Г. Сукачева // Вестник Челябинского государственного университета. Серия Математика. Механика. Информатика. - 2009. - № 20 (158), вып. 11. - С. 77-83.
32. Сукачева, Т.Г. Линеаризованная модель движения вязкоупругой несжимаемой жидкости Кельвина-Фойгта ненулевого порядка / Т.Г. Сукачева, М.Н. Даугавет // Сибирский журнал индустриальной математики. - 2003. - Т. VI, № 4 (16). - С. 111-118.
33. Сукачева, Т.Г. Нестационарная линеаризованная модель движения несжимаемой вязкоупругой жидкости высокого порядка/ Т.Г.Сукачева// Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2009. - № 17 (150), вып. 3. - C. 86-93.
34. Сукачева, Т.Г. Задача термоконвекции для линеаризованной модели движения несжимаемой вязкоупругой жидкости / Т.Г. Сукачева // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2010. - № 16 (192), вып. 5. - С. 83-93.
35. Сукачева, Т.Г. Задача термоконвекции для линеаризованной модели несжимаемой вязкоупругой жидкости ненулевого порядка / Т.Г. Сукачева // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2011. - № 37 (254), вып. 10. - С. 40-53.
36. Сукачева, Т.Г. Обобщенная линеаризованная модель термоконвекции несжимаемой вязкоупругой жидкости ненулевого порядка / Т.Г. Сукачева // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование / Т.Г. Сукачева. - Челябинск, 2012. - № 5(264), вып. 11. - С. 75-87.
37. Сукачева, Т.Г. Расширенные фазовые пространства моделей Осколкова / Т.Г. Сукачева. - Lambert Academic Publishing, 2011.
38. Матвеева, О.П. Квазистационарные траектории задачи Тейлора для обобщенной модели несжимаемой вязкоупругой жидкости / О.П Матвеева, Т.Г. Сукачева // Вестник НовГУ. Серия: Физико-математические науки. - 2013. - Т. 2. - С. 34-37.
39. Матвеева, О.П. Математические модели вязкоупругих несжимаемых жидкостей ненулевого порядка/ О.П. Матвеева, Т.Г. Сукачева// Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ, 2014. - 101 с.
40. Сукачева, Т.Г. Фазовое пространство одной модели магнитогидродинамики / Т.Г. Сукачева, А.О. Кондюков // IV Международная школа-семинар 'Нелинейный анализ и экстремальные задачи', Иркутск, 22-28 июня 2014 г. - Иркутск, 2014. - С. 30.
41. Кондюков, А.О. Квазистационарные полутраектории в одной модели магнитогидродинамики/ А.О.Кондюков, Т.Г.Сукачева // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. - Суздаль, 2014. - С. 91-92.