Некоторые обратные задачи для систем уравнений конвекции-диффузии

В настоящей статье мы рассмотрим вопросы корректности некоторых обратных задач для математических моделей процессов тепломассопереноса и конвекции-диффузии. Коэффициенты и правая часть системы восстанавливаются при выполнении некоторых дополнительных условий переопределения. Эти условия есть значения интегралов решения с весами по некоторой совокупностью областей. Доказаны теоремы существования и единственности и установлены оценки устойчивости. Полученные результаты являются локальными по времени. В качестве основных функциональных пространств используются пространства Соболева. Результаты служат основой при обосновании сходимости численных алгоритмов решения обратных задач с точечными условиями переопределения, которые возникают, в частности, в задачах тепломассопереноса об определении функции источников и параметров среды.

Ключевые слова

параболические системы; конвекция-диффузия; тепломассоперенос; обратная задача; задача управления; краевая задача; корректность.

Литература

1. Алексеев, Г.В. Оптимизация в стационарных задачах тепломассопереноса и магнитной гидродинамики / Г.В. Алексеев. - М.: Науч. мир, 2010.
2. Belov, Ya.Ya. Inverse Problems for Parabolic Equations / Ya.Ya. Belov. - Utrecht: VSP, 2002.
3. Babeshko, O.M. On taking into account the types of sources and settling zones of pollutants / O.M. Babeshko, O.V. Evdokimova, S.M. Evdokimov // Doklady Mathematics. - 2000. - V. 61, № 2. - P. 283-285.
4. Калинина, Е.А. Численное исследование обратной задачи восстановления плотности источника двумерного нестационарного уравнения конвекции-диффузии / Е.А. Калинина // Дальневосточный математический журнал. - 2004. - Т. 5, № 1. - С. 89-99.
5. Обратная задача восстановления плотности источника для уравнения конвекции-диффузии / Ю.А. Криксин, С.Н. Плющев, Е.А. Самарская, В.Ф. Тишкин // Математическое моделирование. - 1995. - Т. 7, № 11. - С. 95-108.
6. Iskenderov, A.D. Inverse Problem for a Linear System of Parabolic Equations / A.D. Iskenderov, A.Ya. Akhundov // Doklady Mathematics. - 2009. - Т. 79, № 1. - P. 73-75.
7. Ismailov, M.I. Inverse Problem of Finding the Time-Dependent Coefficient of Heat Equation from Integral Overdetermination Condition Data / M.I. Ismailov, F. Kanca // Inverse Problems In Science and Engineering. - 2012. - V. 20, № 24. - P. 463-476.
8. Ivanchov, M.I. Inverse Problem of Simulataneous Determination of Two Coefficients in a Parabolic Equation / M.I. Ivanchov // Ukrainian Mathematical Journal. - 2000. - V. 52, № 3. - P. 379-387.
9. Jing, Li. An Inverse Coefficient Problem with Nonlinear Parabolic Equation / Jing Li, Youjun Xu // Journal of Applied Mathematics and Computing. - 2010. - V. 34, № 1-2. - P. 195-206.
10. Kamynin, V.L. An Inverse Problem for a Higher-Order Parabolic Equation / V.L. Kamynin, E. Franchini // Mathematical Notes. - 1998. - V. 64, № 5. - P. 590-599.
11. Kerimov, N.B. An Inverse Coefficient Problem for the Heat Equation in the Case of Nonlocal Boundary Conditions / N.B. Kerimov, M.I. Ismailov // Journal of Mathematical Analysis and Applications. - 2012. -V. 396, issue 2. - P. 546-554.
12. Кожанов, А.И. Параболические уравнения с неизвестным коэффициентом, зависящим от времени / А.И. Кожанов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2005. - Т. 45, № 12. - C. 2168-2184.
13. Vasin, I.A. On the Asymptotic Behavior of Solutions to Inverse Problems for Parabolic Equations / I.A. Vasin, V.L. Kamynin // Siberian Mathematical Journal. - 1997. - V. 38, № 4. - P. 647-662.
14. Prilepko, A.I. Methods for solving inverse problems in Mathematical Physics / A.I. Prilepko, D.G. Orlovsky, I.A. Vasin. - New-York: Marcel Dekker, Inc. 1999.
15. Tryanin, A.P. Determination of Heat-Transfer Coefficients at the Inlet into a Porous Body and Inside It by Solving the Inverse Problem / A.P. Tryanin // Journal of Engineering Physics. - 1987. - V. 52, № 3. - P. 346-351.
16. Dehghan, M. Method of Lines Solutions of the Parabolic Inverse Problem with an Overspecification at a Points / M. Dehghan, F. Shakeri // Numerical Algorithms. - 2009. - V. 50, № 4. - P. 417-437.
17. Pyatkov, S.G. On Some Classes of Coefficient Inverse Problems for Parabolic Systems of Equations / S.G. Pyatkov, M.L. Samkov // Sib. Adv. in Math. - 2012. - V. 22, № 4. - P. 287-302.
18. Pyatkov, S.G. On Some Classes of Inverse Problems for Parabolic Equations / S.G. Pyatkov // Journal of Inverse Ill-Posed problems. - 2011. - V. 18, № 8. - P. 917-934.
19. Ivanchov M. Inverse Problems for Equations of Parabolic Type Math. Studies. Monograph Series. V. 10 / M. Ivanchov. - Lviv: WNTL Publishers, 2003.
20. Кабанихин, С.И. Обратные и некоректные задачи / С.И. Кабанихин. - Новосибирск: Сибирское научное издательство, 2009. - 457 с.
21. Triebel, H. Interpolation Theory, Function Spaces, Differential Operators. North-Holland Mathematical Library, 18 / H. Triebel. - Amsterdam: North-Holland Publishing, 1978.
22. Amann, H. Compact Embeddings of Vector-Valued Sobolev and Besov Spaces / H. Amann // Glasnik matematicki. - 2000. - V. 35, № (55). - P. 161-177.
23. Amann, H. Operator-Valued Foutier Multipliers, Vector-Valued Besov Spaces and Applications / H. Amann // Mathematische Nachrichten. - 1997. - V. 186, № 1. - P. 5-56.
24. Amann, H. Linear and Quasilinear Parabolic Problems. V. I. / H. Amann. - Basel; Boston; Berlin: Birkhauser Verlag, 1995.
25. Ладыженская, О.А. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа / О.А. Ладыженская, В.А. Солонников, Н.Н. Уральцева. - М.: Наука, 1967.
26. Ладыженская, О.А. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа / О.А. Ладыженская, Н.Н. Уральцева. - М.: Наука, 1973.
27. Алифанов, O.M. Обратные задачи сложного теплообмена / O.M. Алифанов, E.A. Артюхов, A.В. Ненароком. - Москва: Янус-К, 2009.
28. Alifanov, O.M. Inverse Heat Transfer Problems / O.M. Alifanov. - Springer-Verlag. Berlin Heidelberg. 1994.
29. Ozisik, M.N. Inverse Heat Transfer / Ozisik M.N., Orlando H.A.B. - New-York: Taylor & Francis, 2000.