Решение задачи минимальной реализации в системе MAPLE

В системе компьютерной математики Maple создан пакет MinimalRealization для решения задачи минимальной реализации линейной конечномерной стационарной динамической системы с дискретным временем. Пакет позволяет построить минимальную реализацию системы, по , конечной , последовательности , марковских , параметров
системы, либо по передаточной матрице-функции системы, либо по произвольной не минимальной реализации. Он оформлен в виде пользовательской библиотеки и состоит из 11 процедур: ApproxEssPoly, ApproxNullSpace, Approxrank, ExactEssPoly, FractionalFactorizationG, FractionalFactorizationMP, MarkovParameters, MinimalityTest, MinimalRealizationG, MinimalRealizationMP, Realization2MinimalRealization. Алгоритм реализации основан на последовательном решении трех задач: 1) нахождение индексов и существенных многочленов последовательности марковских параметров (процедуры ExactEssPoly, ApproxEssPoly), 2) построение правой дробной факторизации передаточной матрицы-функции (FractionalFactorizationG, FractionalFactorizationMP), 3) построение минимальной реализации по заданной дробной факторизации (MinimalRealizationG, MinimalRealizationMP, Realization2MinimalRealization). Предусмотрена возможность решения задачи как в условиях точных вычислений (в рациональной арифметике), так и при наличии ошибок округления или для начальных данных, возмущенных шумом. В последнем случае задача является неустойчивой, поскольку требует нахождения ранга и ядра матрицы. Используется сингулярное разложение матриц как наиболее надежный метод нахождения численного ранга (Approxrank) и ядра (ApproxNullSpace). Вычислительные эксперименты с пакетом MinimalRealization показали хорошее соответствие между точными и приближенными решениями задачи.

Ключевые слова

дискретная линейная конечномерная стационарная динамическая система; дробная факторизация; минимальная реализация; алгоритмы решения задачи реализации.

Литература

1. Адуков, В.М. О задаче минимальной реализации / В.М. Адуков // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2013. - Т. 6, вып. 3. - С. 5-17.
2. Adukov, V.M. Generalized Inversion of Block Toeplitz Matrices / V.M. Adukov // Linear Algebra and Its Applications. - 1998. - V. 274. - P. 85-124.
3. De Schutter, B. Minimal State-Space Realization in Linear System Theory: An Overview / B.De Schutter // Journal of Computational and Applied Mathematics, Special Issue on Numerical Analysis in the 20th Century. Vol. I: Approximation Theory. - 2000. - V. 121, № 1-2. - P. 331-354.
4. Пушков, С.Г. О проблеме реализации в пространстве состояний для интервальных динамических систем / С.Г. Пушков, С.Ю. Кривошапко // Вычислительные технологии. - 2004. - Т. 9, № 1. - С. 75-85.
5. Sinha, N.K. Minimal Realization of Transfer Function Matrices. A Comparative Study of Different Methods / N.K. Sinha // International Journal of Control. - 1975. - V. 22, № 5. - P. 627-639.
6. Kailath, T. Linear Systems / T. Kailath. - N.J.: Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, 1980.
7. Foster, L.V. Algorithm 933: Reliable Calculation of Numerical Rank, Null Space Bases, Pseudoinverse Solutions, and Basic Solutions Using SuitesparseQR / L.V. Foster, T.A. Davis // ACM Transactions on Mathematical Software (TOMS). - 2013. - V. 40, issue 1. - Article No. 7 (23 pages).
8. Adukov, V.M. Fractional and Wiener-Hopf Factorizations / V.M. Adukov // Linear Algebra and Its Applications. - 2002. - V. 340, № 1-3. - P. 199-213.
9. Adukov, V.M. Generalized Inversion of Finite Rank Toeplitz and Hankel Operators with Rational Matrix Symbols / V.M. Adukov // Linear Algebra and Its Applications. - 1999. - V. 290. - P. 119-134.
10. Tether, A.J. Construction of Minimal Linear State-Variable Models from Finite Input-Output Data / A.J. Tether // IEEE Transactions on Automatic Control. - 1970. - V. AC-15, No. 4. - P. 427-436.