Некоторые обобщения задачи Шоуолтера - Сидорова для моделей соболевского типа

В настоящее время активно развиваются исследования математических моделей соболевского типа. В решении прикладных задач значимыми являются результаты, позволяющие получать их численное решение. Начальное условие Шоуолтера - Сидорова стало не просто обобщением задачи Коши для моделей соболевского типа, а условием, позволившим при нахождении приближенного решения избегать проверки согласования начальных данных. Данная статья представляет обзор ряда результатов челябинской математической школы по уравнениям соболевского типа, полученных с использованием либо непосредственно условия Шоуолтера - Сидорова, либо его обобщений.
Статья состоит из семи параграфов. В первом приведены результаты исследований разрешимости задачи оптимального измерения в модели Шестакова - Свиридюка. Во втором параграфе представлен краткий обзор ныне существующих подходов к понятию белого шума. Третий параграф содержит результаты разрешимости ослабленной задачи Шоуолтера - Сидорова для системы леонтьевского типа с аддитивным 'белым шумом'. В четвертом параграфе приводится результат об однозначной разрешимости многоточечной начально-конечной задачи для уравнения соболевского типа первого порядка. Результатам исследования оптимального управления решениями такой задачи посвящен пятый параграф. Шестой и седьмой параграфы содержат результаты, связанные с исследованиями оптимальных управлений решениями задачи Шоуолтера - Сидорова и начально-конечной задачи для уравнений соболевского типа второго порядка соответственно.

Ключевые слова

уравнения соболевского типа; системы леонтьевского типа; оптимальное управление; задача Шоуолтера - Сидорова; (многоточечное) начально-конечное условие; оптимальное измерение.

Литература

1. Келлер, А.В. Алгоритм решения задачи Шоуолтера - Сидорова для моделей леонтьевского типа // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2011. - № 4 (241), вып. 7. - С. 40-46.
2. Свиридюк, Г.A. Задача Шоуолтера - Сидорова как феномен уравнений соболевского типа / Г.А. Свиридюк, С.А. Загребина // Известия Иркутского государственного университета. Серия: Математика. - 2010. - Т. 3, № 1. - С. 104-125.
3. Загребина, С.А. Начально-конечные задачи для неклассических моделей математической физики / С.А. Загребина // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2013. - № 2, вып. 6. - С. 5-24.
4. Шестаков, А. Л. Оптимальное измерение динамически искаженных сигналов /А. Л. Шестаков, Г. А. Свиридюк // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2011. - № 17 (234), вып. 8. - С. 70-75.
5. Шестаков, А.Л. Численное решение задачи оптимального измерения / А.Л. Шестаков, А.В. Келлер, Е.И. Назарова // Автоматика и телемеханика. - 2011. - № 12. - С. 56-68.
6. Худяков, Ю.В. Алгоритм численного исследования модели Шестакова - Свиридюка измерительного устройства с инерционностью и резонансами // Математические заметки СВФУ. - 2013. - Т. 20, № 2. - C. 211-221.
7. Sviridyuk, G.A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov. - Utrecht; Boston; Koln; Tokyo: VSP, 2003.
8. Zagrebina, S.A. The Stochastic Linear Oskolkov Model of the Oil Transportation by the Pipeline / S.A. Zagrebina, E.A. Soldatova, G.A. Sviridyuk // Semigroups of Operators - Theory and Applications / [International Conference], Bedlewo, Poland, Oktober 2013. - Heidelberg; New York; Dordrecht; London: Springer International Publishing Switzerland, 2015. - P. 317-325.
9. Keller, A.V. The Numerical Algorithms for the Measurement of the Deterministic and Stochastic Signals / A.V. Keller, A.L. Shestakov, G.A. Sviridyuk, Yu.V. Khudyakov // Semigroups of Operators - Theory and Applications / [International Conference], Bedlewo, Poland, Oktober 2013. - Heidelberg; New York; Dordrecht; London: Springer International Publishing Switzerland, 2015. - P. 183-195.
10. Sagadeeva, M.A. The Nonautonomous Linear Oskolkov Model on a Geometrical Graph: The Stability of Solutions and the Optimal Control / M.A. Sagadeeva, G.A. Sviridyuk // Semigroups of Operators - Theory and Applications / [International Conference], Bedlewo, Poland, Oktober 2013. - Heidelberg; New York; Dordrecht; London: Springer International Publishing Switzerland, 2015. - P. 257-271.
11. Shestakov, A.L. Reconstruction of a Dynamically Distorted Signal with Respect to the Measuring Transducer Degradation / A.L. Shestakov, G.A. Sviridyuk, M.A. Sagadeeva // Applied Mathematical Sciences. - 2014. - V. 8, № 43. (41-44) - P. 2125-2130.
12. Nelson, E. Dynamical Theories of Brownian Motion / E. Nelson. - Princeton: Princeton University Press, 1967.
13. Gliklikh, Yu.E. Global and Stochastic Analysis with Applications to Mathematical Physics / Yu.E. Gliklikh. - London; Dordrecht; Heidelberg; N.-Y.: Springer, 2011.
14. Шестаков, А.Л. Об измерении 'белого шума' / А.Л. Шестаков, Г.А. Свиридюк // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2012. - № 27 (286), вып. 13. - С. 99-108.
15. Манакова, Н.А. Оптимальное управление решениями начально-конечной задачи для линейной модели Хоффа / Н.А. Манакова, А.Г. Дыльков // Математические заметки. - 2013. - Т. 94, № 2. - С. 225-236.
16. Zagrebina, S.A. The Generalized Splitting Theorem for Linear Sobolev Type Equations in Relatively Radial Case / S.A. Zagrebina, M.A. Sagadeeva // Известия Иркутского государственного университета. Серия: Математика. - 2014. - Т. 7. - С. 19-33.
17. Замышляева, А.А. Оптимальное управление решениями задачи Шоуолтера - Сидорова - Дирихле для уравнения Буссинеска - Лява / А.А. Замышляева, О.Н. Цыпленкова // Дифференциальные уравнения. - 2013. - Т. 49, № 11. - С. 1390-1398.
18. Замышляева, А.А. Начально-конечная задача для уравнения Буссинеска - Лява на графе / А.А. Замышляева, А.В. Юзеева// Известия Иркутского государственного университета. Серия: Математика. - 2010. - Т. 3, № 2. - С. 18-29.
19. Замышляева, А.А. Оптимальное управление решениями начально-конечной задачи для уравнения Буссинеска - Лява / А.А. Замышляева, О.Н. Цыпленкова // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2012. - № 5 (264), вып. 11. - С. 13-24.
20. Гантмахер, Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер. - М.: Физматлит, 2004.
21. Сагадеева, М.А. Дихотомии решений линейных уравнений соболевского типа / М.А. Сагадеева. - Челябинск: Изд. центр ЮУрГУ, 2012. - 107 с.
22. Манакова, Н.А. Задачи оптимального управления для полулинейных уравнений соболевского типа / Н.А. Манакова. - Челябинск: Изд. центр ЮУрГУ, 2012. - 88 с.
23. Манакова, Н.А. Об одной задаче оптимального управления с функционалом качества общего вида / Н.А. Манакова, А.Г. Дыльков // Вестник Самарского государственного технического университетата. Серия: Физико-математические науки. - 2011. - № 4 (25). - С. 18-24.
24. Манакова, Н.А. Оптимальное управление решениями начально-конечной задачи для одной эволюционной модели / Н.А. Манакова, А.Г. Дыльков // Математические заметки СВФУ. - 2012. - Т. 19, № 2. - С. 111-127.
25. Замышляева, А.А. Линейные уравнения соболевского типа высокого порядка / А.А. Замышляева. - Челябинск: Изд. центр ЮУрГУ, 2012. - 107 с.