Метод возмущений в регуляризации уравнений первого рода и приложения

Одной из распространенных задач, возникающих в различных приложениях, является задача вычисления производной функции, заданной в виде зашумленных или неточно заданных экспериментальных данных. Использование стандарных методов в таких случаях усиливает исходный шум, делая результаты дифференцирования бесполезными для практических приложений. В данной работе эта типичная некорректная задача рассмотрена с точки зрения теории линейных операторных уравнений первого рода. Метод возмущений применяется к линейным уравнениям первого рода $Ax=f$. Предполагается, что оператор tilde{A} и функция tilde{f} заданы приближенно. Построено регуляризирующее уравнение tilde{A}x + B(alpha)x = tilde{f}, которое имеет единственное решение. Здесь alpha in S, где S предполагается открытым множеством в R^n, 0 in overline{S}, alpha= alpha(delta). Строится алгоритм устойчивого численного дифференцирования, позволяющий получать устойчивые результаты в случае сильно зашумленных исходных данных.

Ключевые слова

операторное уравнение первого рода; численное дифференцирование; метод возмущений; параметр регуляризации.

Литература

1. Hao N.D., Chuonga L.H., Lesnic D. Heuristic Regularization Methods for Numerical Differentiation. Computers and Mathematics with Applications, 2012, vol. 63, pp. 816-826. DOI: 10.1016/j.camwa.2011.11.047
2. Ivanov V.K., Vasin V.V., Tanana V.P. The Theory of Linear Ill-posed Problems and their Applications. Moscow, Nauka, 1978. (in Russian)
3. Lattes R., Lions J.L. The Method of Quasi-Reversibility. Applications to Partial Differential Equations. American Elsevier Publishing Company, 1969.
4. Lavrentiev M.M. Some Improperly Posed Problems in Mathematical Physics. Berlin, Springer, 1967. DOI: 10.1007/978-3-642-88210-4
5. Leontiev R.Yu. Nonlinear Equations in Banach Spaces with Vector Parameter in Singular Case. Irkuts State University Publ., 2013. 101 p. (in Russian)
6. Loginov B.V., Sidorov N.A. Calculation of Eigenvalues and Eigenvectors of Bounded Operators by the False-Perturbation Method. Mathematical notes of the Academy of Sciences of the USSR, 1976, vol. 19, issue 1, pp. 62-64.
7. Marchuk G.I. Perturbation Theory and the Statement of Inverse Problems. Lecture Notes in Computer Science. Vol. 4: 5th Conf. on Optimization Tech. Springer, 1973, pp. 159-166. DOI: 10.1007/3-540-06600-4_14
8. Maslov V.P. [The Existence of a Solution of an Ill-Posed Problem is Equivalent to the Convergence of a Regularization Process]. Uspekhi Mat. Nauk, 1968, vol. 23, no. 3(141), pp. 183-184. (in Russian)
9. Sidorov D. Integral Dynamical Models: Singularities, Signals and Control. Vol. 87 of World Scientific Series on Nonlinear Science. Singapore, London, World Scientific Publ., 2014. 243 p.
10. Sidorov N.A., Trenogin V.A. Linear Equations Regularization using the Perturbation Theory. Differential Equations, 1980, vol. 16, no. 11, pp. 2038-2049.
11. Sidorov N.A. Calculation of Eigenvalues and Eigenvectors of Linear Operators by the Theory of Perturbations. Differential Equations, 1978, vol. 14, no 8, pp. 1522-1525. (in Russian)
12. Sidorov N.A. General Issues of Regularisation in the Problems of the Theory of Branching. Irkutsk State University Publ., Irkutsk, 1982. 312 p. (in Russian)
13. Sidorov N.A. Explicit and Implicit Parametrisation of the Construction of Branching Solutions by Iterative Methods. Sbornik: Mathematics, 1995, vol. 186, no. 2, pp. 297-310. DOI: 10.1070/SM1995v186n02ABEH000017
14. Sidorov N.A., Leont'ev R.Yu., Dreglya A.I. On Small Solutions of Nonlinear Equations with Vector Parameter in Sectoral Neighborhood. Mathematical Notes, 2012, vol. 91, no. 1-2, pp. 90-104. DOI: 10.1134/S0001434612010105
15. Sidorov N.A., Sidorov D.N. Solving the Hammerstein Integral Equation in Irregular Case by Successive Approximations. Siberian Mathematical Journal, March 2010, vol. 51, no. 2, pp. 325-329. DOI: 10.1007/s11202-010-0033-4
16. Sidorov N.A., Sidorov D.N., Krasnik A.V. On Solution of the Volterra Operator-Integral Equations in Irregular Case using Successive Approximations. Differential Equations, 2010, vol. 46, no. 6, pp. 874-882. DOI: 10.1134/S001226611006011X
17. Sidorov N., Loginov B., Sinitsyn A., Falaleev M. Lyapunov - Schmidt Methods in Nonlinear Analysis and Applications. Dortrecht, Kluwer Academic Publ., 2002. 548 p. DOI: 10.1007/978-94-017-2122-6
18. Sidorov N.A., Trenogin V.A. A Certain Approach the Problem of Regularization of the Basis of the Perturbation of Linear Operators. Mathematical Notes of the Academy of Sciences of the USSR, 1976, vol. 20, no. 5, pp. 976-979.
19. Sizikov V. S. Further Development of the New Version of a Posteriori Choosing Regularization Parameter in Ill-Posed Problems. International Journal of Artificial Intelligence, 2015, vol. 13, no. 1, pp. 184-199.
20. Stechkin S.B. The Best Approximation of Linear Operators. Mathematical Notes, 1967, vol. 1, no. 2, pp. 137-148. DOI: 10.1007/BF01268056
21. Tikhonov A.N., Arsenin V.Ya. Solutions of Ill-Posed Problems. N.Y., Wiley, 1977.
22. Trenogin V.A. Functional Analysis. Moscow, Nauka, 1980. 496 p. (in Russian)
23. Trenogin V.А., Sidorov D.N. Regularization of Computation of Branching Solution of Nonlinear Equations. Lecture Notes in Mathematics. 1977, vol. 594, pp. 491-506.
24. Yagola A.G. Inverse Problems and Methods of Their Solution. Applications to Geophysics. Moscow, Binom, 2014. 216 p. (in Russian)