О решении краевых задач для вырожденных систем линейных интегро-дифференциальных уравнений методом наименьших квадратов

В настоящее время, при анализе сложных электрических и электронных схем, часто встречаются системы, включающие в себя взаимосвязанные дифференциальные, интегральные и алгебраические уравнения. Алгебраические уравнения отвечают за отличие в моделях балансовых соотношений, в частности, законов сохранения или уравнений состояния, системы дифференциальных уравнений описывают динамику процесса. Если процесс обладает последействием, то математическая модель может включать и интегральные уравнения (ИУ). Системы взаимосвязанных дифференциальных, алгебраических и интегральных уравнений можно записать в виде векторных интегро-дифференциальных уравнений с матрицей неполного ранга в области определения при старшей производной искомой вектор-функции. Численное решение краевых и начальных задач для таких систем сопряжено с большими трудностями. В данной работе обсуждается метод наименьших квадратов и приведены результаты численных расчетов.

Ключевые слова

вырожденная система; общее решение; интегро-дифференциальные уравнения; краевая задача; метод наименьших квадратов.

Литература

1. Сидоров, Н.А. Исследование непрерывных решений задачи Коши в окрестности точки ветвления / Н.А. Сидоров // Известия вузов. Математика. - 1976. - № 9. - C. 99-110.
2. Бояринцев, Ю.Е. Регулярные и сингулярные системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений / Ю.Е. Бояринцев.- Новосибирск: Наука, 1980. - 222 с.
3. Sviridyuk, G.A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov. - Utrecht; Boston; Koln; Tokyo: VSP, 2003.
4. Свиридюк, Г.А. Инвариантные пространства и дихотомии решений одного класса линейных уравнений типа Соболева / Г.А. Свиридюк, А.В. Келлер // Известия вузов. Математика. - 1997. № 5. - C. 60-68.
5. Келлер, А.В. Численное решение задачи оптимального управления вырожденной линейной системой обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями Шоуолтера-Сидорова/ А.В. Келлер // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2008. - № 27 (127), вып. 2. - C. 50-56.
6. Чистяков, В.Ф. Алгебро-дифференциальные операторы с конечномерным ядром / В.Ф. Чистяков. - Новосибирск: Наука. Сибирская издательская фирма РАН, 1996. - 278 c.
7. Чистякова, Е.В. Методы исследования и решения вырожденных интегро-дифференциальных уравнений и их приложения: дис. ... канд. физ.-мат.наук / Е.В. Чистякова. - Иркутск, 2006.
8. Чистяков В.Ф. О разрешимости линейных интегро-алгебраических уравнений и численных методах их решения / В.Ф. Чистяков // Сибирский математический журнал. - 2013. - Т. 54, № 4. - C. 932-946.
9. Булатов, М.В. Об одном семействе вырожденных интегродифференциальных уравнений/ М.В. Булатов, Е.В. Чистякова // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2011. - Т. 51, № 9.- C. 1665-1673.
10. Фалалеев, М.В. Вырожденные интегро-дифференциальные операторы в банаховых пространствах и их приложения / М.В. Фалалеев, С.С. Орлов // Известия вузов. Математика. - 2011. - № 10. - C. 68-79.
11. Clark, Kenneth D. Numerical Solution of Boundary Value Problems in Differential-Algebraic Systems / D. Kenneth Clark, Linda R. Petzold // SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing archive. -1989. - V. 10, № 5. - P. 915-930.
12. Marz, R. On Difference and Shooting Methods for Boundary Value Problems in Differential-Algebraic Equations / Marz R. // ZAMM Journal of Applied Mathematics and Mechanics: Zeitschrift fur angewandte Mathematik und Mechanik. - 2006. - V. 64, № 11. - P. 463-473.
13. Чистяков, В.Ф. Применение метода наименьших квадратов для решения линейных дифференциально-алгебраических уравнений / В.Ф. Чистяков, Е.В. Чистякова // Сибирский журнал вычислительной математики. - 2013. - Т. 21, № 1. - C. 81-95.
14. Ушаков, Е.И. Статическая устойчивость электрических систем / Е.И. Ушаков. - Новосибирск: Наука, 1988.
15. Маслов, В.П. Операторные методы / В.П. Маслов. - М: Наука, 1973.
16. Бертсекас, Д. Условная оптимизация и методы множителей Лагранжа / Д. Бертсекас. - М.: Радио и связь, 1987.
17. Бахвалов, Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. - М.: Наука, 1987.