Трехмерная симметричная задача протекания для уравнений Навье - Стокса

В работе Ж. Лерэ (1933) доказана рассуждением от противного разрешимость краевой задачи для уравнений Навье - Стокса при дополнительном условии нулевого потока через каждую связную компоненту границы области течения. При этом же условии Э. Хопф (1941) получил априорную оценку решения. Остается открытым вопрос: имеет ли эта задача решение при выполнении лишь необходимого условия суммарного нулевого потока? Ранее разрешимость трехмерной задачи протекания установлена при малых значениях потоков (Х. Фуджита, 1961; Р. Финн, 1961), либо при условии близости течения к потенциальному (Х. Фуджита и Х. Моримото, 1995). В серии работ М.В. Коробкова, К. Пилецкаса и Р. Руссо (2011 - 2015) положительный ответ на этот вопрос получен для плоских и осесимметричных течений без ограничений на величину потоков. В данной работе задача протекания для уравнений Навье - Стокса рассматривается в трехмерной области типа сферического слоя. Получена априорная оценка решения этой задачи при следующих дополнительных условиях: течение имеет плоскость симметрии; поток через внутреннюю границу области положителен. Из этой оценки вытекает разрешимость указанной задачи.

Ключевые слова

задача протекания; симметричные решения; виртуальная дрена.

Литература

1. Leray J. Etude de diverses equations integrales non lineaires problemes que pose l'hydrodynamique. J. Math. Pures Appl., 1933, vol. 12, no. 9, pp. 1-82.
2. Hopf E. Ein allgemeiner Endlichkeitssatz der Hydrodynamik. Math. Ann., 1941, vol. 117, no. 1, pp. 764-775.
3. Ладыженская, О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости / О.А. Ладыженская. - 2-е изд. - М.: Наука, 1970.
4. Fujita H. On the Existence and Regularity of the Steady-State Solutions of the Navier - Stokes Equations. J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. 1, 1961, vol. 9, pp. 59-102.
5. Finn R. On the Steady-State Solutions of the Navier - Stokes Equations. III. Acta Math., 1961, vol. 105, no. 3-4, pp. 197-244. DOI: 10.1007/BF02559590
6. Fujita H., Morimoto H. A Remark on the Existence of the Navier - Stokes Flow with Non-Vanishing Outflow Condition. Nonlinear Waves (Sapporo, 1995), GAKUTO Intern. Ser. Math. Sci. Appl., Gakkotosho, Tokyo, 1997, vol. 10, pp. 53-61.
7. Задача протекания для уравнений Навье - Стокса / М.В. Коробков, К. Пилецкас, В.В. Пухначев, Р. Руссо // Успехи математических наук. - 2014. - Т. 69, № 6 (420). - С. 115-176.
8. Takeshita A. A Remark on Leray's Inequality. Pacific J. Math., 1993, vol. 151, no. 1, pp. 151-158. DOI: 10.2140/pjm.1993.157.151
9. Сазонов, Л.И. О существовании стационарного симметричного решения двумерной задачи о протекании жидкости / Л.И. Сазонов // Математические заметки. - 1993. - Т. 54, № 6. - С. 138-141.
10. Fujita H. On Stationary Solutions to Navier - Stokes Equations in Symmetric Plane Domains under General Outflow Condition. Navier - Stokes equations: theory and numerical methods (Varenna, 1997), Pitman Res. Notes Math. Ser. Longman, Harlow, 1998, vol. 388, pp. 16-30.
11. Pukhnachev V.V. Viscous Flows in Domains with a Multiply Connected Boundary. New Directions in Mathematical Fluid Mechanics, Adv. Math. Fluid Mech., Basel, Birkhauser Verlag, 2010, pp. 333-348.
12. Пухначев, В.В. Симметрии в уравнениях Навье - Стокса / В.В. Пухначев // Успехи механики. - 2006. - Т. 4, № 1. - С. 6-76.
13. Andreev V.K., Kaptsov O.V., Pukhnachov V.V., Rodionov A.A. Application of Group-Theoretical Methods in Hydrodynamics. Dordrecht, Kluwer Acad. Publ., 1998. DOI: 10.1007/978-94-017-0745-9
14. Amick Ch.J. Existence of Solutions to the Nonhomogeneous Steady Navier - Stokes Equations. Indiana Univ. Math. J., 1984, vol. 33, no. 6, pp. 817-830. DOI: 10.1512/iumj.1984.33.33043
15. Fujita H., Morimoto H., Okamoto H. Stability Analysis of Navier - Stokes Flows in Annuli. Math. Methods Appl. Sci., 1997, vol. 20, no. 11, pp. 659-678. DOI: 10.1002/(SICI)1099-1476(19970725)20:11<959::AID-MMA895>3.0.CO;2-D
16. Кочин, Н.Е. Теоретическая гидромеханика. Ч. 2 / Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе. - 4-е изд. - М.: Физматгиз, 1963.
17. Pukhnachev V.V. Singular Solutions of Navier - Stokes Equations. Proceedings of the St. Petersburg Mathematical Society, vol. XV: Advances in Mathematical Analysis of Partial Differential Equations, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, Amer. Math. Soc., 2014, vol. 232, pp. 193-218.