Математические модели и оптимальное управление процессами фильтрации и деформации

В статье представлен обзор работ автора по изучению задачи оптимального управления для полулинейных моделей соболевского типа с s-монотонным и p-коэрцитивным операторами. Приводятся теоремы существования и единственности слабого обобщенного решения задачи Коши или задачи Шоуолтера - Сидорова для одного класса вырожденных неклассических моделей математической физики. Представленная теория базируется на методе фазового пространства и методе Галеркина - Петрова. Разработанная схема численного метода позволяет находить приближенные решения задачи Коши и задачи Шоуолтера - Сидорова для рассматриваемых моделей. Строится абстрактная схема изучения задачи оптимального управления данного класса моделей. На основе абстрактных результатов доказывается существование оптимального управления процессами фильтрации и деформации. Приводятся необходимые условия оптимального управления.

Ключевые слова

уравнения соболевского типа; оптимальное управление; метод фазового пространства; метод Галеркина - Петрова.

Литература

1. Осколков, А.П. /Начально-краевые задачи для уравнений движения нелинейных вязкоупругих жидкостей / А.П. Осколков // Записки научных семинаров ЛОМИ. - 1985. - Т. 147. - С. 110-119.
2. Амфилохиев, В.Б. Течения полимерных растворов при наличии конвективных ускорений / В.Б. Амфилохиев, Я.И. Войткунский, Н.П. Мазаева // Труды Лениниградского кораблестроительного института. - 1975. - Т. 96. - С. 3-9.
3. Свиридюк, Г.А. Фазовое пространство задачи Коши - Дирихле для уравнения Осколкова нелинейной фильтрации / Г.А. Свиридюк, Н.А. Манакова // Известия вузов. Математика. - 2003. - № 9. - С. 36-41.
4. Дзекцер, Е.С. Обобщение уравнения движения грунтовых вод / Е.С. Дзекцер // ДАН СССР. - 1972. - № 5. - С. 1031-1033.
5. Свиридюк, Г.А. Разрешимость неоднородной задачи для обобщенного фильтрационного уравнения Буссинеска / Г.А. Свиридюк, И.Н. Семенова // Дифференциальные уравнения. - 1988. - Т. 24, № 9. - С. 1607-1611.
6. Hoff, N.J. Creep Buckling / N.J. Hoff // Aeron. - 1956. - V. 7, № 1. - P. 1-20.
7. Свиридюк, Г.А. Фазовое пространство начально-краевой задачи для уравнения Хоффа / Г.А. Свиридюк, В.О. Казак // Математические заметки. - 2002. - Т. 71, № 2. - С. 292-297.
8. Свиридюк, Г.А. Уравнения Хоффа на графах / Г.А. Свиридюк, В.В. Шеметова / Дифференциальные уравнения. - 2006. - Т. 42, № 1. - С. 126-131.
9. Демиденко, Г.В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной / Г.В. Демиденко, С.В. Успенский. - Новосибирск: Науч. книга, 1998. - 438 c.
10. Осколков, А.П. Нелокальные задачи для одного класса нелинейных операторных уравнений, возникающих в теории уравнений типа С.Л. Соболева / А.П. Осколков // Записки научных семинаров ЛОМИ. - 1991. - Т. 198. - С. 31-48.
11. Demidenko, G.V. L_p-Theory of Boundary Value Problems for Sobolev Type Equaitons / G.V. Demidenko // Partial Diff. Equations (Banach Center Publications). - 1992. - V. 27. - P. 101-109.
12. Sidorov, N./ Lyapunov - Shmidt Methods in Nonlinear Analysis and Applications / N. Sidorov, B. Loginov, A. Sinithsyn, M. Falaleev. - Dordrecht; Boston; London: Kluwer Academic Publishers, 2002. - 548 p.
13. Sviridyuk, G.A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov. - Utrecht; Boston; Koln: VSP, 2003. - 216 p.
14. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа / А.Г. Свешников, А.Б. Альшин, М.О. Корпусов, Ю.Д. Плетнер. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. - 736 с.
15. Замышляева, А.А. Линейные уравнения соболевского типа высокого порядка / А.А. Замышляева. - Челябинск: Изд. центр ЮУрГУ, 2012. - 107 с.
16. Сагадеева, М.А. Дихотомии решений линейных уравнений соболевского типа / М.А. Сагадеева. - Челябинск: Изд. центр ЮУрГУ, 2012. - 107 с.
17. Lightbourne, J.H.A. / A Partial Functional Differential Equation of Sobolev Type / J.H.A. Lightbourne // J. Math. Anal. Appl. - 1983. - V. 93, № 2. - P. 328-337.
18. Showalter, R.E. The Sobolev Equation / R.E. Showalter // Applicable Analysis. - 1975. - V. 5, № 1. - P. 15-22; V. 5, № 2. - P. 81-89.
19. Свиридюк, Г.А. Многообразие решений одного сингулярного псевдопараболического уравнения / Г.А. Свиридюк // ДАН CCCР. - 1986. - Т. 289, № 6. - С. 1315-1318.
20. Свиридюк, Г.А. /Задача Коши для одного класса полулинейных уравнений типа Соболева / Г.А. Свиридюк, Т.Г. Сукачева // Сибирский математический журнал. - 1990. - Т. 31, № 5. - С. 109-119.
21. Favini, A. First Order Regular and Degenerate Identification Differential Problems / A. Favini, A. Lorenzi, H. Tanabe // Abstract and Applied Analysis. - 2015. - Article ID 393624, 42 p.
22. Свиридюк, Г.А. Задача Шоуолтера - Сидорова как феномен уравнений соболевского типа / Г.А. Свиридюк, С.А. Загребина // Известия Иркутского государственного университета. Серия: Математика. - 2010. - Т. 3, № 1. - С. 51-72.
23. Загребина, С.А. Начально-конечные задачи для неклассических моделей математической физики / С.А. Загребина// Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2013. - Т. 6, № 2. - С. 5-24.
24. Свиридюк, Г.А. / Оптимальное управление линейными уравнениями типа Соболева с относительно p-секториальными операторами / Г.А. Свиридюк, А.А. Ефремов // Дифференциальные уравнения. - 1995. - Т. 31, № 11. - С. 1912-1919.
25. Федоров, В.Е. / Оптимальное управление линейными уравнениями соболевского типа / В.Е. Федоров, М.В. Плеханова // Дифференциальные уравнения. - 2004. - Т. 40, № 11. - С. 1548-1556.
26. Манакова, Н.А. Оптимальное управление решениями начально-конечной задачи для линейной модели Хоффа / Н.А. Манакова, А.Г. Дыльков // Математические заметки. - 2013. - Т. 94, № 2. - С. 225-236.
27. Келлер, А.В. Системы леонтьевского типа: классы задач с начальным условием Шоуолтера - Сидорова и численные решения / А.В. Келлер // Известия Иркутского государственного университета. Серия: Математика. - 2010. - № 2. - С. 30-43.
28. Келлер, А.В. Численное решение задач оптимального и жесткого управления для одной нестационарной системы леонтьевского типа / А.В. Келлер, М.А. Сагадеева // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика. Физика. - 2013. - Т. 32, № 19. - C. 57-66.
29. Шестаков, А.Л. Оптимальное измерение динамически искаженных сигналов / А.Л. Шестаков, Г.А. Свиридюк // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2011. - № 17 (234), вып. 8. - С. 70-75.
30. Шестаков, А.Л. Численное решение задачи оптимального измерения / А.Л. Шестаков, А.В. Келлер, Е.И. Назарова // Автоматика и телемеханика. - 2012. - № 1. - С. 107-115.
31. Замышляева, А.А. Оптимальное управление решениями задачи Шоуолтера - Сидорова - Дирихле для уравнения Буссинеска - Лява / А.А. Замышляева, О.Н. Цыпленкова // Дифференциальные уравнения. - 2013. - Т. 49, № 11. - С. 1390-1398.
32. Гаевский, Х. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения / Х. Гаевский, К. Грегер, К. Захариас. - М.: Мир, 1978. - 336 c.
33. Корпусов, М.О. Нелинейный функциональный анализ и математическое моделирование в физике: Методы исследования нелинейных операторов / М.О. Корпусов, А.Г. Свешников. - М.: УРСС, 2011. - 480 с.
34. Лионс, Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач / Ж.-Л. Лионс. - М.: Мир, 1972. - 587 c.
35. Лионс, Ж.-Л. Управление сингулярными распределенными системами / Ж.-Л. Лионс. - М.: Наука, 1987. - 367 c.
36. Свиридюк, Г.А. Задача оптимального управления для уравнения Хоффа / Г.А. Свиридюк, Н.А. Манакова // Сибирский журнал индустриальной математики. - 2005. - Т. 8, № 2. - С. 144-151.
37. Манакова, Н.А. Задачи оптимального управления для полулинейных уравнений соболевского типа / Н.А. Манакова. - Челябинск: Изд. центр ЮУрГУ, 2012. - 88 с.
38. Манакова, Н.А. Задача оптимального управления для уравнения Осколкова нелинейной фильтрации / Н.А. Манакова // Дифференциальные уравнения. - 2007. - Т. 43, № 9. - С. 1185-1192.
39. Свиридюк, Г.А. Задача оптимального управления для обобщенного фильтрационного уравнения Буссинеска / Г.А. Свиридюк, Н.А. Манакова // Вестник МаГУ. Математика. - Вып. 8. - Магнитогорск, 2005. - С. 113-122.
40. Баязитова, А.А. Задача Штурма - Лиувиля на геометрическом графе / А.А. Баязитова // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2010. - № 16 (192), вып. 5. - С. 4-10.
41. Manakova, N.A. An Optimal Control to Solutions of the Showalter - Sidorov Problem for the Hoff Model of the Geometrical Graph // Journal of Computational and Engineering Mathematics. - Chelyabinsk, 2014. - V. 1, № 1. - P. 26-33.