Уравнения Осколкова на геометрических графах как математическая модель дорожного движения

В настоящее время возникла необходимость создания адекватной математической модели, описывающей дорожное движение. Математическая теория управления транспортными потоками сейчас активно развивается в работах школы А.Б. Куржанского, где транспортный поток уподобляется несжимаемой жидкости, и, как следствие, рассматриваются гидродинамические модели, основанные, например, на системе Навье - Стокса. В отличие от упомянутого направления авторы этой статьи помимо несомненных свойств транспортного потока, рассматриваемых ранее, таких как вязкость и несжимаемость, предлагают учитывать еще и его упругость. Действительно, при включении запрещающего сигнала светофора транспортные средства мгновенно не останавливаются, а плавно снижают скорость вплоть до остановки, накапливаясь перед стоп-линией. Аналогично при включении разрешающего сигнала светофора транспортные средства не стартуют мгновенно и одновременно, а трогаются с места друг за другом, постепенно набирая скорость. Тем самым транспортный поток проявляет эффект ретардации, свойственный вязкоупругим несжимаемым жидкостям, которые описываются системой уравнений Осколкова.
В первой части статьи обосновывается линейная математическая модель, т.е. конвективные члены в уравнениях Осколкова отсутствуют. В контексте модели это означает, что перестроениями транспортных средств можно пренебречь. Во второй части модель исследуется на качественном уровне, т.е. формулируется теорема о существовании единственного решения поставленной задачи и приводятся наброски ее доказательства.

Ключевые слова

уравнения Осколкова; геометрические графы; задача Коши; транспортные потоки.

Литература

1. Куржанский А. Б. Текущие задачи динамики и теории управления, мотивации, теория и вычисления. Дорожная карта [Электронный ресурс]: пленар. докл. на заседании 'П1 - БКЗ Общее пленарное заседание 1' / А.Б. Куржанский // XII Всерос. совещание по проблемам управления, Россия, Москва, ИПУ РАН, 16-19 июня 2014 г. - Режим доступа: http://vspu2014.ipu.ru/conference/section_meeting_pubs?target=7860. - 09.07.2015
2. Введение в математическое моделирование транспортных потоков: учеб. пособие / Гасников А.В., Кленов С.Л., Нурминский Е.А. и др.; приложения: Бланк М.Л., Гасникова Е.В., Замятин А.А. и др.; под ред. А.В. Гасникова. - М.: МФТИ, 2010. - 362 с.
3. Осколков, А.П. О некоторых нестационарных линейных и квазилинейных системах, встречающихся при изучении движения вязких жидкостей / Осколков А.П. // Зап. науч. сем. ЛОМИ. - 1976. - Т. 59. - С. 133-177.
4. Дифференциальные уравнения на геометрических графах: монография / Ю.В. Покорный, О.М. Пенкин, В.Л. Прядиев и др. - М.: Физматлит, 2004. - 268 с.
5. Свиридюк Г.А. Фазовое пространство одной неклассической модели / Г.А. Свиридюк, В.В. Шеметова // Изв. вузов. Математика. - 2005. - № 11. - С. 47-52.
6. Sviridyuk, G.A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov. - Utrecht; Boston; Koln; Tokyo: VSP, 2003.
7. Zagrebina, S.A. The Stochastic Linear Oskolkov Model of the Oil Transportation by the Pipeline / S.A. Zagrebina, E.A. Soldatova, G.A. Sviridyuk // Semigroups of Operators - Theory and Applications / [International Conference], Bedlewo, Poland, Oktober 2013. - Heidelberg; New York; Dordrecht; London: Springer International Publishing Switzerland, 2015. - P. 317-325. - (Springer Proceedings in Mathematics & Statistics; vol. 113).
8. Манакова, Н.А. Задачи оптимального управления для уравнений соболевского типа / Н.А. Манакова. - Челябинск: Изд. Центр ЮУрГУ, 2012. - 88 с.
9. Сагадеева, М.А. Дихотомии решений линейных уравнений соболевского типа / М.А. Сагадеева. - Челябинск: Изд. Центр ЮУрГУ, 2012. - 107 с.
10. Замышляева, А.А. Линейные уравнения соболевского типа высокого порядка / А.А. Замышляева. - Челябинск: Изд. Центр ЮУрГУ, 2012. - 107 с.
11. Келлер, А.В. Численное исследование задач оптимального управления для моделей леонтьевского типа: дис. ... д-ра физ.-мат. наук : 05.13.18 / А.В. Келлер; Южно-Уральский государственный университет. - Челябинск, 2011.
12. Шестаков, А.Л. Численное решение задачи оптимального измерения / А.Л. Шестаков, А.В. Келлер, Е.И. Назарова // Автоматика и телемеханика. - 2011. - № 12. - С. 56-68.
13. Шестаков А.Л. Математическое моделирование состава строительных смесей с заданными свойствами /А.Л. Шестаков, Г.А. Свиридюк, М.Д. Бутакова // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2015. - Т. 8, № 1. - С. 50-56.
14. Осколков, А.П. Нелокальные проблемы для одного класса нелинейных операторных уравнений, возникающих в теории уравнений типа С.Л. Соболева / Осколков А.П. // Зап. науч. сем. ЛОМИ. - 1991. - Т. 198. - С. 31-48.
15. Favini A. First Order Regular and Degenerate Identification Differential Problems / A. Favini, A. Lorenzi, H. Tanabe // Abstract and Applied Analysis. - 2015. - Article ID 393624, 42 p.