On the One-Dimensional Harmonic Oscillator with a Singular Perturbation

В настоящей работе исследуется одномерный возмущенный гармонический осциллятор с лево-правосторонними граничными условиями в нуле. На рассматриваемый объект можно смотреть как на классический самосопряженный гармонический осциллятор с сингулярным возмущением, сосредоточенным в одной точке. Указанное возмущение порождается дельта-функцией Дирака и/или ее производной. Описываются все самосопряженные реализации этой схемы в терминах указанных граничных условий. Показывается, что при некоторых ограничениях на возмущение (или, что эквивалентно, на граничные условия) у соответствующего дифференциального оператора может появиться ровно одно неположительное собственное значение, и приводится аналитическое выражение для соответствующей собственной функции. Указанное собственное значение пробегает всю неотрицательную полуось когда коэффициент возмущения пробегает установленный промежуток. Для некоторых случаев приводится непосредственная зависимость между подходящими граничными условиями, соответствующим неотрицательным собственным значением и его собственной функцией.

Ключевые слова

гармонический осциллятор; сингулярные возмущения; самосопряженные расширения; отрицательные собственные значения.

Литература

1. Albeverio S., Gesztesy F., Hoegh-Krohn R., Holden H. Solvable Models in Quantum Mechanics. AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, 2005.
2. Berezansky Y.M., Sheftel Z.G., Us G.F. Functional Analysis. Vol. II, Volume 86 of Operator Theory: Advances and Applications. Birkhauser Verlag, Basel, 1996.
3. Berezin F.A., Faddeev L.D. A Remark on Schrodinger's Equation with a Singular Potential. Soviet Mathematics. Doklady, 1961, no. 2, pp. 372-375.
4. Chernoff P.R., Hughes R.J. A New Class of Point Interactions in One Dimension. Journal of Functional Analysis, 1993, vol. 111, no. 1, pp. 97-117. DOI: 10.1006/jfan.1993.1006
5. Eastham M.S.P. The Asymptotic Solution of Linear Differential Systems. Applications of the Levinson Theorem. Oxford, Clarendon Press, 1989.
6. Gadella M., Glasser M.L., Nieto L.M. The Infinite Square Well with a Singular Perturbation. International Journal of Theoretical Physics, 2011, vol. 50, no. 7, pp. 2191-2200. DOI: 10.1007/s10773-011-0690-5
7. Gadella M., Glasser M.L., Nieto L.M. One Dimensional Models with a Singular Potential of the Type -alpha delta(x)+beta delta'(x). International Journal of Theoretical Physics, 2011, vol. 50, no. 7, pp. 2144-2152.
8. Gohberg I., Lancaster P., Rodman L. Indefinite Linear Algebra and Applications. Birkh'auser Verlag, Basel, 2005.
9. Kato T. Perturbation Theory for Linear Operators. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 132. New York, Springer-Verlag New York, 1966.
10. Kurasov P. Distribution Theory for Discontinuous Test Functions and Differential Operators with Generalized Coefficients. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 1996, vol. 201, no. 1, pp. 297-323. DOI: 10.1006/jmaa.1996.0256
11. Seba P. The Generalized Point Interaction in One Dimension. Czechoslovak Journal of Physics B, 1986, vol. 36, no. 6, pp. 667-673. DOI: 10.1007/BF01597402
12. Triebel H. Higher Analysis. Hochschulbucher fur Mathematik. [University Books for Mathematics]. Johann Ambrosius Barth Verlag GmbH, Leipzig, 1992.
13. Viana-Gomes J., Peres N.M.R. Solution of the Quantum Harmonic Oscillator Plus a Delta-Function Potential at the Origin: the Oddness of Its Even-Parity Solutions. European Journal of Physics, 2011, vol. 32, no. 5, pp. 1377-1384. DOI: 10.1088/0143-0807/32/5/025
14. Weidmann J. Linear Operators in Hilbert Spaces, Volume 68 of Graduate Texts in Mathematics. New York, Berlin, Springer-Verlag, 1980.
15. Weidmann J. Spectral Theory of Ordinary Differential Operators, Volume 1258 of Lecture Notes in Mathematics. Berlin, Springer-Verlag, 1987.
16. Zeldovic Ya.B. Scattering by a Singular Potential in Perturbation Theory and in the Momentum Representation. Soviet Physics. Journal of Experimental and Theoretical Physics, 1960, no. 11, pp. 594-597.