Возникновение автоколебаний в системе Рэлея с диффузией

Рассматривается система реакции-диффузии с кубической нелинейностью, которая является бесконечномерным аналогом классической системы Рэлея и частным случаем системы Фитцхью - Нагумо. Пространственная переменная изменяется в произвольной m-мерной ограниченной области, рассматриваются краевые условия Дирихле или смешанные краевые условия. Найдены критические значения управляющего параметра, отвечающие колебательной и монотонной потере устойчивости нулевого равновесия. Получены явные асимптотические представления пространственно-временных структур, которые образуются вследствие колебательной потери устойчивости нулевого равновесия при различных типах краевых условий. Показано, что происходит мягкая потеря устойчивости. С помощью построения абстрактной схемы и применения метода Ляпунова - Шмидта выведены формулы для общего члена разложения автоколебаний. Установлено, что для всех рассматриваемых краевых условий общий член асимптотики вторичного решения представляет собой нечетный тригонометрический полином по времени. Приведены примеры приложений общей схемы к случаю одной пространственной переменной, когда вторичные решения обладают дополнительными симметриями. Если на концах отрезка заданы краевые условия Дирихле, то в выражение для n-го члена асимптотики входят лишь конечные линейные комбинации собственных функций оператора Лапласа с нечетными индексами не выше n. Если на концах отрезка заданы смешанные краевые условия, то в выражения n-го члена асимптотики входят лишь конечные линейные комбинации собственных функций с индексами не выше (n+1)/2.

Ключевые слова

система Рэлея; метод Ляпунова - Шмидта; автоколебания; системы реакции-диффузии.

Литература

1. Fitzhugh, R. Impulses and Physiological States in Theoretical Models of Nerve Membrane / R. Fitzhugh // Biophysical Journal. - 1961. - № 1. - P. 257-278.
2. Nagumo, J.M. An Active Pulse Transmission Line Simulating Nerve Axon / J.M. Nagumo, S. Arimoto, S. Yoshizawa // Proceedings of the IRE. - 1962. - V. 50. - P. 2061-2070.
3. Tuwankotta, J.M. Studies on Rayleigh Equation / J.M. Tuwankotta // Integral. - 2000. - V. 5, № 1. - P. 1-9.
4. Глызин, С.Д. Конечномерные модели диффузионного хаоса / С.Д. Глызин, А.Ю. Колесов, Н.Х. Розов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2010. - Т. 50, № 5. - С. 860-875.
5. Башкирцева, И.А. Бифуркация расщепления стохастических циклов в модели Фицхью - Нагумо / И.А. Башкирцева, Л.Б. Ряшко, Е.С. Слепухина // Нелинейная динамика. - 2013. - Т. 9, № 2. - С. 295-307.
6. Казарников, А.В. Бифуркация рождения цикла в пространственно-распределенной системе Рэлея / А.В. Казарников, С.В. Ревина // Деп. ВИНИТИ. - 2013. - Т. 83, № 242-В2013.
7. Юдович, В.И. Исследование автоколебаний сплошной среды, возникающих при потере устойчивости стационарного режима / В.И. Юдович // Прикладная математика и механика. - 1972. - Т. 36, № 3. - С. 450-459.
8. Ревина, С.В. Возникновение автоколебаний при потере устойчивости пространственно-периодических трехмерных течений вязкой жидкости относительно длинноволновых возмущений / С.В. Ревина, В.И. Юдович // Известия РАН. Механика жидкости и газа. - 2001. - № 2. - С. 29-41.
9. Мелехов, А.П. Возникновение автоколебаний при потере устойчивости пространственно-периодических двумерных течений вязкой жидкости относительно длинноволновых возмущений / А.П. Мелехов, С.В. Ревина // Известия РАН. Механика жидкости и газа. - 2008. - № 2. - С. 41-56.
10. Ревина, С.В. Рекуррентные формулы длинноволновой асимптотики задачи устойчивости сдвиговых течений / С.В. Ревина // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2013. - Т. 5, № 8. - C. 1387-1401.