Метод негладких интегральных направляющих функций в задаче о существовании периодических решений включений с каузальными операторами

Как известно, дифференциальные включения являются очень удобным математическим аппаратом, моделирующим нелинейные управляемые системы с обратной связью, системы автоматического регулирования, системы с разрывными и импульсными характеристиками и другие объекты современной инженерии, механики, физики. В настоящей работе предлагаются новые методы решения задачи о периодических колебаниях управляемых объектов, описываемых дифференциальным включением с каузальным оператором. Впервые дифференциальные уравнения с каузальным оператором, или уравнения типа Вольтерра, были рассмотрены Л. Тонелли и А.Н. Тихоновым. А.Н. Тихонов использовал их в качестве модели при изучении ряда задач теплопроводности, в частности, задачи об остывании тела при лучеиспускании с поверхности. В первой части работы предполагается, что правая часть включения является многозначным отображением, имеющим выпуклые замкнутые значения. Далее предполагается, что правая часть включения невыпуклозначна и полунепрерывна снизу. В силу специфики рассматриваемого объекта в качестве основного инструмента исследования рассматриваемой задачи в обоих случаях используется модифицированный метод классической направляющей функции. А именно, метод негладкой интегральной направляющей функции. Применение теории топологической степени и указанного метода позволяет установить разрешимость периодической задачи в каждом из рассматриваемых случаев.

Ключевые слова

включение; каузальный оператор; негладкая интегральная направляющая функция; периодические решения; топологическая степень совпадения.

Литература

1. Tonelli, L. Sulle equazioni funzionali di Volterra / L. Tonelli // Bulletin of Calcutta Mathematical Society. - 1930. - V. 20. - P. 31-48.
2. Тихонов, А.Н. О функциональных уравнениях типа Volterra и их применениях к некоторым задачам математической физики / А.Н. Тихонов // Бюллетень МГУ. Секция А. Серия: математика и механика. - 1938. - Т. 1, вып. 8. - С. 1-25.
3. Corduneanu, C. Functional Equations with Causal Operators. Stability and Control: Theory, Methods and Applications / C. Corduneanu. - London: Taylor and Francis, 2002.
4. Drici, Z. Differential Equations with Causal Operators in a Banach Space / Z. Drici, F.A. McRae, Devi J. Vasundhara // Nonlinear Analysis. - 2005. - V. 62, № 2. - P. 301-313.
5. Drici, Z. Monotone Iterative Technique for Periodic Boundary Value Problems with Causal Operators / Z. Drici, F.A. McRae, D.J. Vasundhara // Nonlinear Analysis. - 2006. - V. 64, № 6. - P. 1271-1277.
6. Jankowski, T. Boundary Value Problems with Causal Operators / T. Jankowski // Nonlinear Analysis. - 2008. - V. 68, № 12. - P. 3625-3632.
7. Lupulescu, V. Causal Functional Differential Equations in Banach Spaces / V. Lupulescu // Nonlinear Analysis. - 2008. - V. 69, № 12. - P. 4787-4795.
8. Бурлаков, Е.О. Непрерывная зависимость от параметров решений уравнений Вольтера с локально сжимающими операторами / Е.О. Бурлаков, Е.С. Жуковский // Известия вузов. Математика. - 2010. - № 8. - С. 16-29.
9. Жуковский, Е.С. Корректность уравнений с обобщенно вольтерровыми отображениями метрических пространств / Е.С. Жуковский, Т.В. Жуковская, М.Ж. Алвеш // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. - 2010. - Т. 15, вып. 6. - С. 1669-1672.
10. Obukhovskii, V. On Certain Classes of Functional Inclusions with Causal Operators in Banach Spaces / V. Obukhovskii, P. Zecca // Nonlinear Analysis. - 2011. - V. 74, № 8. - P. 2765-2777.
11. Красносельский, М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений / М.А. Красносельский. - M.: Наука, 1966.
12. Красносельский, М.А. Об одном принципе существования ограниченных, периодических и почти-периодических решений у систем обыкновенных дифференциальных уравнений / М.А. Красносельский, А.И. Перов // ДАН СССР. - 1958. - Т. 123, № 2. - С. 235-238.
13. Красносельский, М.А. Геометрические методы нелинейного анализа / М.А. Красносельский, П.П. Забрейко. - M.: Наука, 1975.
14. Mawhin, J. Topological Degree Methods in Nonlinear Boundary Value Problems. CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 40. American Mathematical Society / J. Mawhin. - Providence, 1979. DOI: 10.1090/cbms/040
15. Mawhin, J. Guiding-like Functions for Periodic or Bounded Solutions of Ordinary Differential Equations / J. Mawhin, J.R. Ward // Discrete and Continuous Dynamical Systems. - 2002. - V. 8, № 1. - P. 39-54.
16. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений / Ю.Г. Борисович, Б.Д. Гельман, А.Д. Мышкис, В.В. Обуховский. - Изд. 2-е. - М.: Либроком, 2011.
17. G'orniewicz, L. Topological Fixed Point Theory of Multivalued Mappings / L. G'orniewicz. - Berlin: Springer, 2006.
18. Fonda, A. Guiding Functions and Periodic Solutions to Functional Differential Equations / A. Fonda // Proceedings of the American Mathematical Society. - 1987. - V. 99, № 1. - P. 79-85.
19. Kornev, S. On Some Developments of the Method of Integral Guiding Functions / S. Kornev, V. Obukhovskii // Functional Differential Equations. - 2005. - V. 12, № 3-4. - P. 303-310.
20. Loi, N.V. On the Global Bifurcation of Periodic Solutions of Differential Inclusions in Hilbert Spaces / N.V. Loi, V. Obukhovskii, P. Zecca // Nonlinear Analysis. - 2013. - V. 76. - P. 80-92.
21. Kornev, S. On Asymptotics of Solutions for a Class of Functional Differential Inclusions / S. Kornev, V. Obukhovskii, J.C. Yao // Discussiones Mathematicae. Differential Inclusions, Control and Optimization. - 2014. - V. 34, issue 2. - P. 219-227.
22. Корнев, С.В. Асимптотическое поведение решений дифференциальных включений и метод направляющих функций / С.В. Корнев, В.В. Обуховский // Дифференциальные уравнения. - 2015. - Т. 51, № 6. - С. 700-705.
23. Method of Guiding Functions in Problems of Nonlinear Analysis. Lecture Notes in Math. V. 2076. / V. Obukhovskii, P. Zecca, N.V. Loi, S. Kornev. - Berlin: Springer, 2013.
24. Deimling, K. Multivalued Differential Equations / K. Deimling. - Berlin; N.Y.: Walter de Gruyter, 1992. DOI: 10.1515/9783110874228
25. Kamenskii, M. Condensing Multivalued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach Spaces / M. Kamenskii, V. Obukhovskii, P. Zecca. - Berlin; N.Y.: Walter de Gruyter, 2001. DOI: 10.1515/9783110870893
26. Fryszkowski, A. Fixed Point Theory for Decomposable Sets / A. Fryszkowski. - Dordrecht: Kluwer AP, 2004. DOI: 10.1007/1-4020-2499-1
27. Кларк, Ф. Оптимизация и негладкий анализ / Ф. Кларк. - М.: Наука, 1988.