Stationary Solutions for the Cahn - Hilliard Equation Coupled with Neumann Boundary Conditions

Исследована структура стационарного состояния одномерного уравнения Кана - Хилларда в сочетании с граничными условиями Неймана. Здесь свободная энергия задается полиномом четвертого порядка. Была построена диаграмма бифуркации существования и единственности монотонных решений этой задачи. А именно, найдена длина интервала, на котором решение монотонно возрастает или убывает и имеет один нуль для некоторых фиксированных значений физических параметров. Под неоднозначностью понимается возможность существования более чем одного монотонного решения для некоторых значений физических параметров.

Ключевые слова

уравнение Кана - Хиларда; граничное условие Неймана; устойчивые состояния.

Литература

1. Cahn J.W., Hilliard J.E. Free Energy of a Nonuniform System, I. Interfacial Free Energy. The Journal of Chemical Physics, 1958, vol. 28, pp. 258-267. DOI: 10.1063/1.1744102
2. Carr J., Gurtin M.E., Slemrod M. Structured Phase Transition on a Finite Interval. Archive for Rational Mechanics and Analysis, 1984, vol. 86, pp. 317-351. DOI: 10.1007/BF00280031
3. Fife P.C., Penrose O. Interfaced Dynamics for Thermodinamically Consistent Phase-Field Models with Nonconcerved Order Parameter. Electronic Journal of Differential Equations, 1995, vol. 16, pp. 1-49.
4. Grinfeld M., Novick-Cohen A. Counting Stationary Solutions of the Cahn - Hilliard Equation by Transversality Arguments. Proceedings of the Royal Society of Edinburgh: Section A Mathematics, 1995, vol. 125, no. 2, pp. 351-370. DOI: 10.1017/S0308210500028079
5. Grinfeld M., Novick-Cohen A. The Viscous Cahn-Hilliard Equation: Morse Decomposition and Structure of the Global Attractor. Transactions of the American Mathematical Society 6, 1999, vol. 351, no. 6, pp. 2375-2406.
6. Provatas N., Elder K. Phase-Field Methods in Materials Science and Engineering. Weinheim, Wiley-VCH, 2010. 312 p.
7. Novick-Cohen A., Peletier L.A. Steady States of the One-Dimensional Cahn - Hilliard Equation. Proceeding of the Royal Society of Royal of Edinburg, 1993, vol. 123A, pp. 1071-1098. DOI: 10.1017/s0308210500029747
8. Smoller J., Wasserman A. Global Bifurcation of Steady-State Solutions. Journal of Differential Equations, 1981, vol. 39, pp. 269-290. DOI: 10.1016/0022-0396(81)90077-2