Inverse Problems for Some Sobolev-Type Mathematical Models

Работа посвящена рассмотрению обратных задач для ряда математических моделей, основанных на уравнениях и системах Соболевского типа, возникающих в динамике стратифицированной жидкости, теории упругости, гидродинамике, электродинамике и других областях. Вместе с решением определяются неизвестная правой части и коэффициенты в уравнении типа Соболева четвертого порядка. В качестве условия переопределения берутся значения решения в отдельных точках пространственной области. Задача сводится к некоторому операторному уравнению, разрешимость которого устанавливается при помощи априорных оценок и теоремы о неподвижной точке.
Доказываются теоремы о существовании и единственности решения поставленной задачи для линейного и нелинейного случая. В линейном случае результат является глобальным по времени, а в нелинейном локальным по времени. В качестве основных пространств рассматриваются пространства С.Л. Соболева.

Ключевые слова

модели соболевского типа; уравнение Соболева; математическая модель; теорема существования и единственности решения; обратная задача; краевая задача; волны в плазме; вращающаяся жидкость; модель Буссинеска - Лява.

Литература

1. Соболев, С.Л. Об одной новой задаче математической физики / С.Л. Соболев // Известия Российской академии наук. Серия математическая. - 1954. - Т. 18. - С. 3-50.
2. Boussinesq, J.V. Essai sur la theorie des eaux courantes / J.V. Boussinesq // Mem. Pesentes Divers Savants Acad. Sci. Inst. France. - 1877. - № 23. - P. 1-680.
3. Love, A.E.H. A Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity. - N.Y.: Dover Publications, 1944.
4. Линейные и нелинейные уравнения Соболевского типа / А.Г. Свешников, А.Б. Альшин, М.О. Корпусов, Ю.Д. Плетнер. - М.: Физматлит, 2007. - 736 с.
5. Икези, Х. Экспериментальное исследование солитонов в плазме / Х. Икези // Солитоны в действии. - М.: Мир, 1981. - С. 163-184.
6. Любанова, А.Ш. Идентификация коэффициента в старшем члене псевдопараболического уравнения типа фильтрации / А.Ш. Любанова // Сибирский журнал индустриальной математики. - 2013. - Т. 54, № 6. - С. 1315-1330.
7. Lyubanova, A.Sh. On Inverse Problems for Pseudoparabolic and Parabolic Equations of Filtration / A.Sh. Lyubanova, A. Tani // Inverse Problems in Science and Engineering. - 2011. - V. 19, № 7. - P. 1023-1042.
8. Кожанов, А.И. О разрешимости обратных задач восстановления коэффициентов в уравнениях составного типа / А.И. Кожанов // Вестник Новосибирского государственного университета. Серия: математика, механика, информатика. - 2008. - Т. 8, № 3. - С. 81-99.
9. Кожанов, А.И. Нелинейные погруженные уравнения и обратные задачи / А.И. Кожанов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2004. - Т. 44, № 4. - С. 694-716.
10. Кожанов, А.И. О разрешимости коэффициентных обратных задач для некоторых уравнений соболевского типа / А.И. Кожанов // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Математика. Физика. - 2010. - Т. 18, № 5. - С. 88-98.
11. Fedorov, V.E. An Inverse Problem for Linear Sobolev Type Equations / V.E. Fedorov, A.V. Urazaeva // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. - 2004. - V. 12, № 4. - P. 387-395.
12. Аблабеков, Б.С. Обратные задачи для псевдопараболических уравнений / Б.С. Аблабеков. - Бишкек: Илим, 2001.
13. Asanov, A. An Inverse Problem for a Pseudoparabolic Integro-Defferential Operator Equation / A. Asanov, E.R. Atamanov // Siberian Mathematical Journal. - 1995. - V. 38, № 4. - P. 645-675.
14. Favini, A. Differential Equations: Inverse and Direct Problems / A. Favini, A. Lorenzi. - Boca Raton; London; N.Y.: Chapman and Hall/CRC, 2006. - 304 p.
15. Замышляева, А.А. Оптимальное управление решениями начально-конечной задачи для уравнения Буссинеска - Лява / А.А. Замышляева, О.Н. Цыпленкова // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2012. - № 5 (264), вып. 11. - С. 13-24.
16. Замышляева, А.А. Начально-конечная задача для уравнения Буссинеска-Лява / А.А. Замышляева, А.В. Юзеева // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2010. - № 16 (192), вып. 5. - С. 23-31.
17. Замышляева, А.А. Оптимальное управление решениями задачи Шоуолтера - Сидорова - Дирихле для уравнения Буссинеска - Лява / А.А. Замышляева, О.Н. Цыпленкова // Дифференциальные уравнения. - 2013. - Т. 49, № 11. - С. 1390-1398.
18. Мегралиев, Я.Т. Обратная краевая задача для уравнения Буссинеска - Лява с дополнительным интегральным условием // Сибирский журнал индустриальной математики. - 2013. - Т. 16, № 1 (53). - С. 75-83.
19. Mehraliyev, Ya.T. On Solvability of an Inverse Boundary Value Problem for the Boussinesq - Love Equation / Ya.T. Mehraliyev // Journals of Siberian Federal University. Mathematics and Physics. - 2013. - V. 6, № 4. - P. 485-494.
20. Аблабеков, Б.С. Обратная задача восстановления правой части для уравнения Буссинеска - Лява / Б.С. Аблабеков, А.А. Касымалиева // Вторая международная научная школа-конференция 'Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач', 21-29 сентября 2010 г. - Новосибирск: Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, 2010. - С. 2-4.
21. Ладыженская, О.А. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа / О.А. Ладыженская, Н.Н. Уральцева. - М.: Наука, 1973.
22. Гилбарг, Д. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка / Д. Гилбарг, Н. Трудингер. - М.: Наука, 1989.
23. Pyatkov, S.G. On Some Mathematical Models of Filtration Theory / S.G. Pyatkov, S.N. Shergin // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2015. - Т. 8, № 2. - С. 105-116.
24. Amann, H. Compact Embeddings of Vector-Valued Sobolev and Besov Spaces / H. Amann // Glasnik matematicki. - 2000. - V. 35, № 1. - P. 161-177.
25. Amann, H. Operator-Valued Foutier Multipliers, Vector-Valued Besov Spaces and Applications / H. Amann // Mathematische nachrichten. - 1997. - V. 186, № 1. - P. 5-56.