Numerical Research of the Barenblatt - Zheltov - Kochina Stochastic Model

В настоящее время активно развиваются исследования математических моделей соболевского типа. В решении прикладных задач значимыми являются результаты, позволяющие получать их численное решение. В работе разработан алгоритм численного решения начально-краевой задачи описывающей распределение давления однородной жидкости в горизонтальном пласте, который вскрыт вертикальной скважиной малого размера. Предполагается, что на жидкость действуют возмущающие случайные нагрузки, а область исследования представляет собой круг с центром на оси скважины. Задача решалась в предположение, что неустановившееся течение жидкости осесимметричное, а в начальный момент времени давление в пласте постоянное. Проводя дискретизацию, исходная задача для дифференциального уравнения в частных производных, преобразована к задаче Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Для численного решения задачи Коши использовались алгоритмы, основанные на явных одношаговых формулах типа Рунге - Кутты седьмого порядка точности с выбором шага интегрирования. Для оценки контроля точности вычислений на каждом временном шаге использовалась схема восьмого порядка точности. Исходя из результатов этого контроля, выбирался временной шаг. Многочисленные вычислительные эксперименты показали высокую вычислительную эффективности алгоритма решения исследуемой начально-краевой задачи.

Ключевые слова

стохастическое уравнение соболевского типа; численное решение; модель Баренблатта - Желтова - Кочиной; задача Коши.

Литература

1. Баренблатт, Г.И. Об основных представлениях теории фильтрации в трещиноватых средах / Г.И. Баренблатт, Ю.П. Желтов, И.Н. Кочина // Прикладная математика и механика. - 1960. - Т. 24, № 5. - С. 58-73.
2. Загребина, С.А. Линейные уравнения соболевского типа с относительно $p$-ограниченными операторами и аддитивным белым шумом / С.А. Загребина, Е.А. Солдатова // Известия Иркутского гос. ун-та. Серия: Математика. - 2013. - Т. 6, № 1. - С. 20-34.
3. Hallaire, M. On a Theory of Moisture-Transfer / M. Hallair // Inst. Rech. Agronom. - 1964. - № 3. - pp. 60-72.
4. Chen, P.J. On a Theory of Heat Conduction Involving Two Temperatures / P.J. Chen, M.E. Gurtin // Z. Angew. Math. Phys. - 1968. - V. 19. - P. 614-627.
5. Свиридюк, Г.А. Задача Коши для линейного сингулярного уравнения типа Соболева / Г.А. Свиридюк // Дифференциальные уравнения. - 1987. - Т. 23, № 12. - С. 2169-2171.
6. Sviridyuk, G.A. The Dynamical Models of Sobolev Type with Showalter - Sidorov Condition and Additive 'Noise' / Sviridyuk G.A., Manakova N.A.// Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2014. - Т. 7, № 1. - C. 90-103.
7. Новиков, Е.А. Контроль устойчивости метода Фельберга седьмого порядка точности / Е.А. Новиков, Ю.В. Шорников // Вычислительные технологии. - 2006. - Т. 11, № 4. - С. 65-72.
8. Новиков, Е.А. Разработка алгоритмов переменной структуры для решения жестких задач: дис. ... канд. физ.-мат. наук / Е.А. Новиков. - Красноярск, 2014. - 123 с.